微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第十一章 微分方程1常数项级数.pptVIP

第十一章 第一节 定义： 通项 二、级数的收敛和发散 例1. 讨论等比级数 例2：判断下列级数的敛散性 例3. 判别下列级数的敛散性: 三、收敛级数的基本性质 性质3. 四、级数收敛的必要条件 注意: 例4.判断级数的敛散性: * 无穷级数 无穷级数 数项级数 幂级数 常数项级数 一、常数项级数的概念 二、级数的收敛与发散 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项或通项。 次相加, 简记为 简称为级数。 一、常数项级数的概念 例如： 是一个无穷级数， 通项为 简记为 级数 中，若 是常数，则称（1）为常数项级数。 是函数，则称（1）为函数项级数。 定义： 称为级数的部分和. 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 则称级数发散 . 一般级数的前 n 项的和 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然 部分和 当 n 依次取 1，2，3， 它构成一个新的数列 级数 是否收敛即为此数列是否有极限。 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 此为等比级数，公比 该级数收敛。 解：原式＝ 此为等比级数，公比 该级数发散。 解：原式＝ 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 解 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 性质1. 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 即 其和为 c S . 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 收敛。 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 发散. 例如， 用反证法可证 设收敛级数 则必有 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 .