数项级数收散性判别法.doc

华 北 水 利 水 电 大 学 数项级数的证明方法及应用 课程名称： 高等数学（2） 专业班级： 农业水利工程 （16）班 成员组成： 李林 201201614 元奇 201201601 冯冰洋 201201605 联系方式：2013年6月7日 数项级数收敛性判别法 作 者：李林 元奇 冯冰洋 指导老师：王田利 摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献 SKIPIF 1 0 的基础上新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路． 关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路 一 ，引言 数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要内容．本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数．其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等．而构造高精度正项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数．但值得注意的是这个＂精确化＂的过程是没有尽头的，因为杜·布洼·雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更＂快＂的级数存在．还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更＂慢＂的级数存在．这说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的．本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别方法． 一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了它们常见的性质及应用．从而丰富了数项级数收敛性的判别方法． 1　数项级数相关概念 SKIPIF 1 0 1.1　数项级数及定义 定义1　给定一个数列 SKIPIF 1 0 ，对它的各项依次用＂ SKIPIF 1 0 ＂号连接起来的表达式 　　　　　　　　　　 SKIPIF 1 0 　　　　　　　　　（1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中 SKIPIF 1 0 称为级数（1）的第 SKIPIF 1 0 项或通项． 数项级数（1）也常写作： SKIPIF 1 0 或简单写作 SKIPIF 1 0 ． 数项级数（1）的前 SKIPIF 1 0 项的和为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，称为级数的 SKIPIF 1 0 项部分和． 　　定义２　若数项级数（1）的部分和数列 SKIPIF 1 0 收敛于 SKIPIF 1 0 (即 SKIPIF 1 0 )，则称数项级数（1）收敛,称 SKIPIF 1 0 为数项级数(1)的和,记作 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 是发散数列，则称数项级数（1）发散． 例1　设 SKIPIF 1 0 收敛， SKIPIF 1 0 ．证明： SKIPIF 1 0 . 证　记级数 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 ．则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ． 从而　 SKIPIF 1 0 SKI