第七章解析几何与微分几何SECTION12.doc

§ 12 一般曲面 曲面的方程与曲线的坐标 图 7.23 曲面方程的形式有 隐 式 F(x,y,z)=0 显 式 z=f(x,y) 参数式 SKIPIF 1 0 矢量式 r=r(u, SKIPIF 1 0 ) 或 r=x(u, SKIPIF 1 0 )i+y(u, SKIPIF 1 0 )j+z(u, SKIPIF 1 0 )k 对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取 SKIPIF 1 0 为一系列数值 SKIPIF 1 0 ?，而让u连续变动，则r(u, SKIPIF 1 0 )(i=1,2,?)表示一族曲线，称为u线（图7.23）；同样，如果取u为一系列数值u1,u2,?，而让 SKIPIF 1 0 连续变动，则r(ui, SKIPIF 1 0 )(i=1,2,?)表示另一族连续曲线，称为 SKIPIF 1 0 线.u线与 SKIPIF 1 0 线在曲面上构成曲线网，称为坐标线或坐标网.于是u=ui, SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 这个数对就可以确定曲面上一点M，这数对(ui, SKIPIF 1 0 )称为点M的曲线坐标（或高斯坐标）. 切面、法线与曲面的方向 [法线单位矢量] 通过曲面上一的M所有曲面曲线（即该曲面上的曲线），在点M的切线落在同一平面上（奇点除外），称这平面为曲面在点M的切面通过点M与切面垂直的直线称为曲面在点M的法线. 切面通过的矢量 ru= SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 称为坐标矢量，它们分别是u线和 SKIPIF 1 0 线在点M的切矢量（图7.24） 图 7.24 曲面上点的法线单位矢量为 SKIPIF 1 0 这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单位矢量，前者以n表示，后者以N表示. [曲面的方向] 曲面的方向规定如下：朝N的正向那一面是曲面的正面（图7.24中看到的一面）；另一面为反面. [曲面的切线方程与法线方程] 曲面方程 切面方程 法线方程 SKIPIF 1 0 z=f(x,y) SKIPIF 1 0 r=r(u, SKIPIF 1 0 ) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或(r-r0)N0=0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 式中 SKIPIF 1 0 为参数 表中 SKIPIF 1 0 分别表示 SKIPIF 1 0 在点M(x0,y0,z0)的值，r0是点M的矢径， SKIPIF 1 0 分别表示 SKIPIF 1 0 在点M的值，N0为点M的法线单位矢量. [曲面的奇点] 若曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)的三个偏导数同时等于零，即 SKIPIF 1 0 则称点M为该曲面的奇点. 第一基本二次型与曲面的度量 [第一基本二次型与第一基本量] 曲面方程 第一基本二次型与第一基本量 z=f(x,y) SKIPIF 1 0 或 r=r(u, SKIPIF 1 0 ) ds2=Edx22fdxdy+Gdy2 式中 E=1+ SKIPIF 1 0 F= SKIPIF 1 0 G=1+ SKIPIF 1 0 ds为点M(x,y,z)处的弧的微分，ds2称为第一基本二次型，E,F,G称为第一基本量 ds2= SKIPIF 1 0 =Edu2+2Fdud SKIPIF 1 0 +Gd SKIPIF 1 0 2 式中 E= SKIPIF 1 0 F= SKIPIF 1 0 G= SKIPIF 1 0 第一基本量E,F,G都在点M处取值. 曲面上每点（奇点除外）的第一基本二次型是正定的，即 E0,G0,EG-F20 [曲面上的弧长、面积、夹角等计算公式] 各量与图形 计算公式 曲面曲线的弧长L SKIPIF 1 0  曲面面积S （由曲线围成） 曲线夹角 SKIPIF 1 0 （两条曲线交于点M） SKIPIF 1 0  SKIPIF 1 0  SKIPIF 1 0 式中