伪旁切圆中的共点共线问题.docVIP

. . 伪旁切圆中的共点、共线问题 潘成华 田开斌 笔者在研究曼海姆定理时，做了如下定义：对于△ABC，如果一个⊙P与其外切圆⊙O相外切，且分别与其两条边相切，则⊙P称为△ABC的一个伪旁切圆。笔者在研究伪旁切圆的性质时，曾发现了一系列共点问题及其相关问题，此篇文章即是通过三个定理，将此类问题做一个贯穿和系统整理，敬请方家指教。 定理一：如图1，△ABC外接圆为⊙O，内切圆⊙I分别切三边于D、E、F，⊙P与⊙O外切于J，且分别切AB、AC于G、H，连接AD并延长交⊙P于K，则AJ=AK，且∠BAJ=∠CAD。 图1 证明方法（反演变换）： 根据⊙P关于AP对称知∠BAJ=∠CAD，则必然有AJ=AK。所以下面我们只证明∠BAJ=∠CAD。 如图2，我们以点A为反演中心，以AE×AH为反演幂，则H、E互为反演点，F、G互为反演点，从而⊙P与⊙I互为反形。设B的反演点为B’，C的反演点为C’，则⊙O的反形为直线B’C’，直线BC的反形即为△A B’C’的外接圆⊙Q。因为BC与⊙P切于点J，所以B’C’与⊙P’（即⊙I）相切于J’，因为⊙I与BC相切于D，所以⊙I’（即⊙P）与⊙Q相切于D’，J’、D’分别为J、D的反演点。又因为AB×AB’=AC×AC’=AE×AH，所以△ABC∽△AC’B’。我们可以看出，原图形是由△ABC决定的，其反形是由△AB’C’决定的，且它们的结构方式相同。又△ABC∽△AC’B’，所以原图形的反形与原图形反向相似。于是知∠CAD=∠B’AJ’=∠BAJ。证毕。 另外，由于⊙P’与⊙I相等，所以原图形的反形与原图形反向全等，所以AB=AC’，AC=AB’，于是知AB×AC=AB×AB’=AE×AH。 图2 定理二：如图3，三角形ABC中，⊙O1、⊙O2是伪旁切圆，分别切⊙O于H、I。⊙O1分别切CB、CA于D、E，⊙O2分别切BC、BA于F、G。C 图3 证明：设弧BC的中点为P，我们先证明JK经过P，且P为JK中点，再证明DH和FI经过P。 首先用同一法证明JK经过点P。如图4，连接JK交⊙O于P1，设△ABC内心为R，AR交⊙O于S，则S为劣弧BC中点。由曼海姆定理知J、K为△ABC旁心，所以JK⊥AS，即P1A⊥AS，所以P1S为圆O直径，所以P1为优弧BC中点，即 作JX⊥BC于X，KY⊥BC于Y，PS交BC于Z，则Z为BC中点。于是知要证P为JK中点，只需证明Z为XY中点，即只需证明XC=BY。 而XC=JCcosC2= 下面再用同一法证明DH经过点P。如图5，延长DH交⊙O于P2，则由位似知，P2O∥O1D，，即P2O⊥BC，所以 图4 图5 定理三：如图6，△ABC外接圆为⊙O，⊙O1与⊙O外切于点D，且分别切AB、AC于G、H，⊙O2与⊙O外切于点E，且分别切BC、BA于I、J，⊙O3 图6 证明：如图7，取GH中点为R、IJ中点为S，KL中点为T，则根据曼海姆定理知R、S、T为△ABC的三个旁心。于是知AR、BS、CT交于一点Q，且Q为△ABC内心。又因为S、T为△ABC的旁心，所以ST⊥AR。又GH⊥AR，所以ST∥GH。于是知 BGAB CACH （1）×（2）得BGAB BGCH 同理可知： CIAJ AKBL （3）×（4）×（5）知 BGCH 又因为AR、BS、CT交于一点，根据赛瓦定理知RBTB·SCRC·TA 图7 以上介绍的是此类问题的三个定理，基于这三个定理，我们可以得到如下一系列命题。 命题一：如图8，△ABC外接圆为⊙O，⊙O1与⊙O外切于点D，且分别切AB、AC于G、H，⊙O2与⊙O外切于点E，且分别切BC、BA于I、J，⊙ 图8 证明：如图9，作△ABC的内切圆⊙M分别切BC、CA、AB于P、Q、R。则由于BPPC 根据定理一知AS、AD是∠BAC的一组等角线，BS、BE是∠ABC的一组等角线，CS、CF是∠ACB的一组等角线，从而知AD、BE、CF三线共点，设为M，则M与S是一对等角共轭点。 图9 命