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思維方法課程網頁：.tw/~ 第十三週： 自然演繹法III：替代規則 一、簡介 替代規則：以邏輯等值的形式來陳述(又被稱為「等值規則」)。 引入「≡」的符號：表示在它兩邊的語句是邏輯上等值的。在做證明時，邏輯等值的語句可以彼此替代。 一、簡介 十個替代規則：德摩根律(DeM)、對換法(Comm)、結合法(Assoc)、分配法(Dist)、雙重否定法(DN)、質位變換法(Contra)、蘊含法(Impl)、等值法(Equiv)、輸入輸出法(IE)、重複增減法(Idemp)。 替代規則可以用在整個語句，也可用在一個語句的一部份。 替代規則 德摩根律(DeM) ~( p ? q ) ≡ (~p ? ~q) ~( p ? q) ≡ (~p ? ~q) 對換法(Comm) ( p ? q ) ≡ ( q ? p ) ( p ? q) ≡ ( q ? p) 雙重否定法(DN) p ≡ ~ ~p 分配法(Dist) (p ? (q ? r)) ≡ (( p ? q) ? ( p ? r)) (p ? (q ? r)) ≡ (( p ? q) ? ( p ? r)) 質位變換法(Contra) (p→q) ≡ (~q→~p) 結合法(Assoc) (p ? (q ? r)) ≡ ((p ? q) ? r) (p ? (q ? r)) ≡ ((p ? q) ? r) 等值法(Equiv) (p?q) ≡ ((p→q) ? (q→p)) (p?q) ≡ ((p ? q) ? (~p ? ~q)) 蘊含法(Impl) (p→q) ≡ (~p ? q) 重複增減法(Idemp) p ≡ (p ? p) p ≡ (p ? p) 輸入輸出法(IE) ((p ? q)→r) ≡ (p→(q→r)) 一、簡介 「蘊含規則」與「替代規則」的重要差別： 1.蘊含規則只能適用在整個語句。 替代規則可以用在整個語句，也可用在一個語句的一部份。 2.蘊含規則是單向的（從前提到結論）。 替代規則是雙向的（可用任一方的等值表達取代另一方）。 二、替代規則 (九)德摩根律(簡寫為DeM)： ~( p ? q ) ≡ (~p ? ~q) ~( p ? q) ≡ (~p ? ~q) 德摩根律符合日常語言的使用習慣。 例如：「張三並沒有既來上課而且交了作業」這句話跟「張三沒有來上課或者張三沒有交作業」的意思相同。 記憶法：當我們把否定符號移入或移出括號時，必須把 ? 換成?，把?換成 ? 。 德摩根律只適用在並言和選言，不適用於條件句和互為條件句。 例題：1. ~(X ? ~X) ∕∴ Y 二、替代規則 (十)對換法(簡寫為Comm)： ( p ? q ) ≡ ( q ? p ) －並言的對換法 ( p ? q) ≡ ( q ? p) －選言的對換法 對換法說的是，一個並言和選言的真假值不受其構成要素的順序影響。 這個規則類似算數中的加法和乘法。 例如，2+3跟3+2的值都是5。 2×3跟3×2的值都是6。 對換法只適用在並言和選言，它雖然也可用在互為條件句，但基本推論規則不包括這一條。 例題：1. J→K 2. ~K ∕∴ R ? ~J 二、替代規則 (十一)結合法(簡寫為Assoc)： (p ? (q ? r)) ≡ ((p ? q) ? r) －並言的結合法 (p ? (q ? r)) ≡ ((p ? q) ? r) －選言的結合法 結合法說的是，一個並言和選言的真假值不受括號的位置之影響。 這個規則跟算數中的作法類似。 結合法同樣只適用在並言和選言。 在使用這個規則時，字母的順序必須保持不變，只有改變括號的位置。 例題：1. M ? (N ? O) 2. ~ O ∕∴ M ? N 有趣的推理：魔術矩陣 畫出一個四乘四的矩陣，按順序填上1到16的數字。 請一位同學任選一個數字。選好後把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 接著在還沒被劃掉的數字裡再選一個數字，然後同樣把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 接下來再選第三個數字，如法炮製地把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 最後把唯一剩下來的數字圈起來。 老師有超自然能力，可以預測這四個數字的總和。 你們相信老師真的有超能力嗎？我是怎麼知道的？ 二、替代規則 (十二)分配法(簡寫為Dist)： (p ? (q ? r)) ≡(( p ? q) ? ( p ? r)) (p ? (q ? r)) ≡(( p ? q) ? ( p ? r)) 這個規則類似算數裡