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例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题， 取步长 。 解：对此初值问题采用改进Euler公式， 其具体形式为 计算结果列于下表： 例1: 用欧拉公式求解初值问题 改进的Euler法 Euler法 通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法 的计算精度比Euler方法要高。 欧拉法误差概述 6.3 龙格—库塔方法 对许多实际问题来说，欧拉公式与改进欧拉公式精度还不能满足要求，为此从另一个角度来分析这两个公式的特点，从而探索一条构造高精度方法的途径. 改进欧拉法 三阶龙格-库塔方法 三阶龙格-库塔方法是用三个值 k1, k2, k3 的线性组合 要使三阶龙格-库塔方法具有三阶精度，必须使其局部截断误差为 O(h4) 将 k1, k2, k3 代入 yn+1 的表达式中，在 (xn, yn) 处用二元泰勒公式展开，与 y(xn+1) 在 xn 处的泰勒展开式比较 类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足： 8 个未知参数，6 个方程，有无穷多组解 三阶龙格库塔公式 四阶Runge-Kutta方法 附注： 二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 附注： ? 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系： 7 5 3 可达到的最高精度 6 4 2 每步须算Ki 的个数 ? 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精 太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。 度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不 感谢您的听讲！ 希望提出指导与建议 * 第6章 常微分方程数值解法 §6.1 引 言 §6.2 欧拉方法 §6.3 龙格—库塔方法 §6.1 引 言 微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。 1、常微分方程与解 为n阶常微分方程。 如果函数 在区间[a,b]内n阶可导，称方程 满足方程的函数 称为微分方程的解。 则 如 为任意常数） 一般称为方程的通解。 为方程的解。 如果 则有 为方程满足定解条件的解。 一、初值问题的数值解法 方程的通解 满足定解条件的解 微分关系（方程） 解的图示 本教材重点讨论定解问题(初值问题） 定解条件（初始条件） 是否能够找到定解问题的解取决于 仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。 如 等等 2、数值解的思想 （1）将连续变量 离散为 （2）用代数的方法求出解函数 在 点的近似值 * 数学界关注 工程师关注 如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性 解的唯一性 解的光滑性 解的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 …… 求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。 称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 称为微分方程的数值解。 所谓数值解法： 称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指: 记 3、相关定义 (2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式 4、 迭代格式的构造 (1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点