实验5非线性方程求解.PDFVIP

实验 5 非线性方程求解 实验目的： 1．熟练掌握非线性方程求解的 MATLAB 实现； 2 ．会用 MATLAB 解决一些非线性方程问题。 实验内容： 由 《微积分》的零点定理知，如果函数 y f (x) 在闭区间 a,b上连续，且满足 f (a)f (b)  0 ，则方程f (x) 0 在开区间a,b内至少存在一个零点.此定理给出了零点存 在的充分条件，但没给出零点的个数，也没给出求解方法，这在解决一些实际问题时显然是 不够的，本节主要解决这两个问题. 5.1 非线性方程简介 当f (x) 为非线性函数时，方程 f (x) 0 （5.1） 称为非线性方程.当f (x) 为n( 2) 次代数多项式时，（5.1）式称为n次代数方程，即 n n1 a x  a x   a x  a 0 n n1 1 0 由代数基本定理知，n次代数方程一定有n个根 （包括复根），但当 n 5 时便没有现成的 求解公式可用；当f (x) 为包含三角函数、指数函数或对数函数的超越函数时，（5.1）式称 为超越方程，如 x x e  sin( ) 0 2 此类方程不仅很难求得解析解，有时连解的存在性，解的个数也难以判断. 求解非线性方程的常用方法为 Bolzano 二分法和 Newton-Raphson 迭代法，下面介绍这 些算法的 MATLAB 软件实现。 5.2 非线性方程 （组）的MATLAB 求解 MATLAB 提供了几个求解非线性方程 （组）的函数，其使用方法分别为： （1）[x,fval,exitflag]=fzero(f ,x0,options) 用于求解非线性方程，输入量 f 为方程左端的函数；x0 是迭代初值或有根区间[a,b]，此时要求 f 在 a，b 两点的函数值异 号；options 为控制算法的参数向量，可省略；输出量 x 为问题的解；fval 为函数 f 在解 x 处的值，可省略；exitflag用来描述程序的运行情况，若大于 0，则表示迭代收敛于解x.fzero 求得的结果不一定是函数 f 的零根，而只是函数值符号发生改变的点，此点有可能是间断点. （2）x=roots(p) 用于求解多项式方程的零根，其中 p 为多项式的系数 （按降幂排列）. 输出量 x 为方程的零根.该指令每次只能求解一个一元多项式方程的零根，不能用于求多项 式方程组的解. （3）[x,fval,exitflag]=fsolve(f,x0,options)用于求解非线性方程组，输入量 和输出量可参考 fzero. 例 1 在无阻尼强迫振荡的研究中会经常遇到函数h(x) xsin x .试求一点x 0,2， 满足h(x) 1. 解：问题即为求非线性方程 xsin x 1 0 x [0,2] 的零根，建立 M 函数文件 h.m 如下： function y=h(x) y=x*sin(x)- 1; 在 MATLAB 指令窗中输入下面指令 x0=[0,2];[x,fval,exitflag]=fzero(h,x0) 运行得结果为：x =1.1142，fval =2.2204e-016，exitflag =1，即所求非线性方程的解为 1.1142. 上述方法主要用来求单根，对于多根情形，一般用图形放大法进行求解，即先根据曲线 的图形大体确定出根的数量及所在范围，然后再进一步确定