分析数值实验报告.docxVIP

数 值 分 析 实 验 报 告 实验一 误差分析 实验 1.1 （病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。 对数值方法的研究而言， 所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者， 反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。 病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价 （如耗用更多的机器时间、 占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 20 p(x) ( x 1)( x 2) ( x 20) (x k ) (1.1) k 1 显然该多项式的全部根为 1,2,?,20 共计 20 个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 p( x) x19 0 (1.2) 其中 是一个非常小的数。这相当于是对（ 1.1）中 x19 的系数作一个小的扰动。 我们希望比较（ 1.1）和（ 1.2）根的差别，从而分析方程（ 1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots”和“ poly”。 u roots(a) 其中若变量 a 存储 n+1 维的向量，则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量。设 a 的元素依次为 a1, a2 , , an 1 ，则输出 u 的各分量是多项式方程 a1 xn a2 xn 1 an x an 1 0 的全部根；而函数 b poly(v) 的输出 b 是一个 n+1 维变量，它是以 n 维变量 v 的各分量为根的多项式的系数。 可见“ roots”和“ poly”是两个互逆的运算函数。 ess 0.000000001; ve zeros(1,21); ve(2) ess; 0 数 值 分 析 实 验 报 告 roots ( poly (1: 20) ve) 上述简单的 Matlab 程序便得到（ 1.2）的全部根，程序中的“ ess”即是（ 1.2）中的 。 实验要求： （1）选择充分小的 ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数 很小，我们自然感觉（ 1.1）和（ 1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰 动敏感性如何？ （2）将方程（ 1.2）中的扰动项改成 x18 或其它形式，实验中又有怎样的现 象出现？ （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（ 1.2）写成展开的形式， p( x, ) x20 x19 0 (1.3) 同时将方程的解 x 看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是 否敏感，与研究它关于 的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于 的变化更敏感？ 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用 roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用 符号函数 solve 来提高解的精确度， 这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数 poly2sym, 函数的具体使用方法可参考 Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); for n=2:21 n for m=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一） a=poly(1:20); 1 数 值 分 析 实 验 报 告 y=poly2sym(a); rr=solve(y) for n=2:21 n for m=1:8 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; a=poly(1:20)+ve; y=poly2sym(a); r=solve(y); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 数值实验结果及分析： format long -6-m -7 -8 -9 -10 n 2.79722687478331 1.86753632009158 1.06052762380748 0.25273144219047 1.69376699767424 0.92310666706964 0.08471614569741 0.40804026409411 4 0.85401393415536 0.19941022020061 0.03972935295834 0 5 0.11031100538871 0.04296532362844 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9