2011年全国高中数学联赛辅导材料代数与不等式专题.docVIP

PAGE 44 - 2011加试试题选讲（代数部分） 一．函数方程 1.确定所有的函数，其中是实数集，使得对于任意恒有： 解：令代入①中得：即， 由于，所以是取自然数值域中的数．现设法求，令． 在①中令得：，这里 在①中令得： ∴ ∵，因此，当取遍全体实数时，也取遍全体实数 即， ∴， 因此，对于任何实数，存在使得 再由得 ∴，即． 说明：此种解法蕴含算二次的思想． 二．离散函数与函数最值 2.给定整数，实数满足：，求的最小值。 解：不妨设，则对有 这里去掉了 当为奇数时， 当为偶数时， 故当为奇数时, ，当为偶数时， 等号均在时成立 3.求最大的实数，使得，对所有的正实数均成立。 解：令，则原式左边趋于2，因此，若，则将出现矛盾，故，下面证明： 利用待定指数法，设 ① （其中为待定参数） ① 上式左边，故只需证明： 不难发现令时即可，故，故 4.设是三个不全为0的实数，求的最大值 分析：欲求的最大值，只需要证明存在一个常数，使得 ① 且取某组数时，等号成立 ①式，由于右边两项为和，所以左边的需要拆成两项与，由：， 而，从而 解：因为，，故 即，当时等号成立，故所求最大值为 5.设 求的最大值（其中，并且用表示），并求 解：令，并约定，则， 又，故，因此： 为的求最大值，构造一下不等式： 其中为参数，并且将上面的不等式相加，只需使，即有 注意到，且，故存在且它的值为1。 6.设非负实数满足：，求： 的最小值。 解：给所求式子中的每一个分式配一个常数1，进行通分，再将用常数1代替得： 同理可得：，， 令 则 注意到，因此： 故 。 7. n为给定整数，使不等式对一切非负实数恒成立. 讲解：若全为0时，c为任意实数。 若至少有一个正数，不妨设. 由于不等式是齐次不等式，所以可设 令 不等式化为 假设中最后一个正数为调整为， 则有 因 故 这表明将调整为后，单调递增. 对于，经若干次调整后，最终可得 因此 综上所述， 说明：用局部调整法解决多元函数的最值问题，适用于那些变元有界，且在边界处取得最值的题目. 8.设满足，规定，， 求证： （31届IMO） 证明1：令，则： 故 证明2：考虑用来证明，考虑到取等号的条件为 故原不等式分子应化为，从而 证明3 ，相加得 左， 9.设正数、、、、、满足；；求函数的最小值。 思路分析：由条件等式解出、、后，代入，消去、、。这样就把6个变量转化为3个变量了！然后，想法利用柯西不等式解答之。证明：由已知条件，得 于是， =· 下证 这等价于， 也就是Schur不等式： 从而可知，当时，函数取得最小值 10.设实数，求证：（约定） 证明：首先证明： ① ① 即，故①式成立，因此， ，，， 上述个不等式相加即得原不等式成立 11.已知，且，求的最小值 解：令，则，且 ，， 故，而 等号当且仅当时取到，此时；故 12.已知，且，试求函数的最小值。 解：由题意，，故： 13.已知函数，当时，，试求的最大值. 解一： 由 得 . （8分） 所以 ，. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解二：.设，则当时，. 设 ，则.. 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 14.数列的定义如下：，，证明： 证明：由于，故， 又，故，因此： 因此： 15.2010年全国高中联赛第一试11题 数列满足.求证: 证明：由 知 ，.（2） 所以 即 . 从而 . 所以（1）等价于， 即 （3）由 及 知 . 当时 ，， ，即时，（3）成立. 设时，（3）成立，即 . 当时，由（2）知； 又由（2）及 知 均为整数， 从而由 有 即 ， 所以 ，即（3）对也成立. 三．不等式方向 16．已知正实数满足，， 证明： 证明：，，， 四式相加得： 由