第四讲直线、平面垂直判定与性质.pptVIP

必威体育精装版考纲　1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的_____直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α. ( ) (2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. ( ) 2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是 (　　) A．b⊥β　 B．b∥β C．b?β　 D．b?β或b∥β 解析　由垂直和平行的有关性质可知b?β或b∥β，故选D. 答案　D 3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的 (　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　 D．既不充分也不必要条件 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A. 答案　A 4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面 (　　) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 解析　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误； B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误； C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确； D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误． 答案　C 5．(人教A必修2P67练习2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心． (2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB， ∴PC⊥AB， 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC， 又CG?平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高． 同理可求BD，AH为△ABC底边上的高， 即O为△ABC的垂心． 答案　(1)外　(2)垂 考点一　直线与平面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明　(1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE. 规律方法　(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (2)由题意知ED∥BC，ED＝BC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD. 又AP⊥平面PC