2018届高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系教师用书 理 选修4-4.doc

PAGE 1 - 第一节　坐标系 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 　　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 2016，全国卷Ⅰ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用) 2016，全国卷Ⅱ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用) 2015，全国卷Ⅰ，23,10分(圆的极坐标，求三角形面积) 2015，全国卷Ⅱ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用) 　　直角坐标方程与极坐标方程的互化，求极坐标方程，利用极坐标方程解决问题是本部分的热点内容，主要以解答题的形式出现，难度中等。 微知识　小题练 自|主|排|查 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，?λ＞0?，,y′＝μ·y，?μ＞0?))的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2．极坐标的概念 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做_极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。 (2)极坐标： 对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)。 当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。 (3)点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。 3．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。 (2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ)) ρ2＝x2＋y2 tanθ＝eq \f(y,x)(x≠0) 在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),≤θ＜\f(π,2))) 圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),θ\f(π,2))) 过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0＜θ＜π) 过点(a,0)，倾斜角为α的直线 ρsin(α－θ)＝asinα 微点提醒 1．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标P(x，y)与变换后的点的坐标Q(X，Y)。 2．直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要注意互化时要将极坐标方程作适当转化； (1)若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可用公式形式。 (2)为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ。 小|题|快|练 1．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y))后，变成直线__________。 【解析】　由伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x′，,y＝\f(1,4)y′。))