数列的概念与简单表示法知识点.docxVIP

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数列 数列的概念与简单表示法 数列的概念 = 1 \* GB2 ⑴ 数列的定义: 按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。 数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为,或者简记为,其中表示数列的通项。 注: = 1 \* GB3 ① 研究对象:“数”(与集合相区别)。 = 2 \* GB3 ② 首项(第1项):数列中的排在第1位的数。 第2项 :数列中的排在第2位的数。 …… 通项(第n项):数列中的排在第n位的数。 = 3 \* GB3 ③ 注意与含义的区别: :表示数列中的第n项。 :表示数列,简单记法。 = 4 \* GB3 ④ 数列的项性质: 有序性 :一个数列不仅与构成数列的数有关,而且与排列顺序有关。 可重复性 :数列中数可以重复出现。 补充知识: 集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性。 例:a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合,不同的数列 b 1、2、2、3、5、5可以表示数列,但不能构成集合。 = 2 \* GB2 ⑵ 从函数的角度研究数列: 对于任意一个数列,其每一项与序号都有对应的关系,见下表: 序号(项数n) 1 2 3 … n … 项 … … 数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 注:1、数列可以看作特殊的函数(离散型),其图像是一系列孤立的点。 2、函数不一定是数列。 数列的表示方法 = 1 \* GB2 ⑴ 列表法:列出表格表示出数列的项和序号的关系 例:数列6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示 序号(项数) 1 2 3 4 5 6 项 6 66 666 6666 66666 666666 = 2 \* GB2 ⑵ 图像法: 在平面直角坐标中,数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点(,)。 = 3 \* GB2 ⑶ 通项公式法:用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。 数列的通项公式: = 1 \* GB2 ⑴ 数列的第n项叫做数列的通项。 = 2 \* GB2 ⑵ 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 注: = 1 \* GB3 ① 并不是所有的数列都可以用通项公式表示 例:π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9,2,6… π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值组成的数列3,3.1,3.14,3.142,… = 2 \* GB3 ② 只给出一个数列的若干项,而未指明数列构成规律时,该数列的通项公式不能唯一确定。 例:数列1,4,7,10,… 通项公式可以是,也可以 = 3 \* GB3 ③ 数列通项公式的表示方法不唯一。 例:数列-1,1,-1,1,-1,… 通项公式可以是,也可以是。 数列的递推公式: = 1 \* GB2 ⑴ 递推公式: 如果已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即或,那么这个式子叫做数列的递推公式。 = 2 \* GB2 ⑵ 通项公式与递推公式异同点: 相同点:都可以确定一个数列,都可以求出数列的任意一项。 不同点:通项公式可以通过代入项数n直接求出项。简单直接 递推公式需要通过一次或者多次赋值,求出需要的项。赋值繁琐 所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。(相应专题练习) 数列的前n项和: 叫做数列的前n项和,记作 数列的通项与前n项和的关系: 注:1、不是对一切正整数n都成立的,而是对于的一切正整数恒成立,因为当时,,无意义。 2、由前n项和求通项公式时,要分两种情况:和,然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当时,也适合的表达式,则将两种情况统一合写。若不能,则需要采用分段形式来表示。 例: (1); (2); (3); (4); (5); 数列的分类: 分类标准 名称 含义 举例 项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,4,9,…,, … 项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 3,4,5,…,n+2 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 1,, ,…, 常数列 各项相等的数列 6,6,6, …,6 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4, … 数列的性质: 单调性,周期性,有界性 = 1 \* GB2 ⑴ 单调性: 递增数列:, 递减数

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