高中数学第二章2.5夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角课件北师大版选修2_1.ppt

1 2 3 4 3.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC= ,则PA与底面ABC的夹角为　　　.? 解析:取BC的中点O, 因为PO⊥BC,且AO∩BC=O, 所以PO⊥平面ABC,即∠PAO为PA与底面ABC的夹角. 1 2 3 4 4.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC. (1)求证:OD∥平面PAB. (2)求直线OD与平面PBC夹角的正弦值. 1 2 3 4 解:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 则P(0,0,h). 1 2 3 4 ∵OD?平面PAB,PA?平面PAB, ∴OD∥平面PAB. 1 2 3 4 -*- XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 5.3　直线与平面的夹角 直线与平面的夹角 名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角). 2.直线与平面所成角θ的范围是 .可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,关系式:sin θ=|cos φ|或cos θ=sin φ. 【做一做1】 已知线段AB=8,AB在平面α内的射影长为4,则直线AB与平面α所成的角θ为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案:B 【做一做2】 已知直线l的方向向量为s=(1,0,0),平面π的法向量为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为　　　　　.? 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)直线与平面的夹角都是锐角. (　　) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　) (3)当直线与平面的夹角为0°时,说明直线与平面平行. (　　) × × × 探究一 探究二 一题多解 直线与平面的夹角 【例1】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值. 探究一 探究二 一题多解 思维点拨:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值. (1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD,∴AB⊥CD. 探究一 探究二 一题多解 (2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图. 由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD, ∴AB⊥BE,AB⊥BD. 设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0), 探究一 探究二 一题多解 取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1). 设直线AD与平面MBC所成角为θ, 反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求解的综合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判定或性质定理即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系,用向量的方法解决. 探究一 探究二 一题多解 变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于(　　) 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, ∵底面是边长为4的正方形,AA1=3, ∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0). 答案:C 探究一 探究二 一题多解 夹角的综合计算 【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值; (2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值. 思维点拨:先利用面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利用线面