江苏高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的值域与最值课件.pptx

第3讲　函数的值域与最值;知 识 梳 理;2.函数的最值;1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝|x－1|和y＝ln x，x∈[1，＋∞)值域相同.(　　) (2)函数y＝x2－2x，x∈(－1，3)有最大值.(　　) (3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(　　) (4)分段函数若有最大值，则最大值可以有多个.(　　) 解析　(2)中函数在(－1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，无最大值；(4)中分段函数其实是一个函数，最大值至多一个. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×;答案　(－4，－2]∪(1，4];3.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为[0，3]，则f(x)的值域为________. 解析　f(x)＝－x2＋2x＋1在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2.所以f(x)∈[－2，2]. 答案　[－2，2];答案　2;考点一　确定函数的最值;当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]???单调递增，则f(x)≤f(1)＝1， 综上可知，f(x)的最大值为1.;(2)法一　(基本不等式法);规律方法　求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.;故函数f(x)的最大值为2. 答案　(1)1　(2)2;考点二　求函数的值域;解析　(1)因为x2≥0，所以x2＋2≥2，;故函数的值域为[7，＋∞).;规律方法　求函数值域的常用方法 遇到求值域的问题时，应首先考虑有哪几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是什么，在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式，要靠自己积累经验，掌握规律.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用.求函数值域，不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域的制约作用. (1)观察法 函数解析式结构简单，可直接看出其单调性或某一部分的范围，可结合不等式求出其值域.;(5)分离常数法(部分分式法) 分子、分母是一次式的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法. (6)数形结合法 对于容易画出函数图象的求值域问题可画出函数图象，从图象上读出值域. (7)函数有界性法 直接求函数的值域有困难时，可以对解析式进行变形，利用已学过的函数的有界性来确定原函数的值域.;【训练2】 求下列函数的值域：;(4)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t0)，;∴y≥5，∴函数的值域为[5，＋∞).;考点三　恒成立与最值问题;则x2＋2x＋a0对x∈[1，＋∞)上恒成立.即a－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)， ∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3. 又a≤1，∴当－3a≤1时，f(x)0在x∈[1，＋∞)上恒成立. 故实数a的取值范围是(－3，1]. 法二　f(x)0对任意x∈[1，＋∞)恒成立等价于 y＝x2＋2x＋a0对x∈[1，＋∞)恒成立. 即求x∈[1，＋∞)时，ymin0，又ymin＝12＋2＋a0，∴a－3，∴－3a≤1.;规律方法　恒成立问题是高考的重点与热点，恒成立问题转化为最值问题求解是常规方法. 其方法有二：一种是分离参数，转化为求非参函数的最值；二种是利用函数法，通过讨论参数直接求函数的最值，涉及到导数时，用导数求其最值.;【训练3】 (1)设f(x)＝x2－2mx＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围； (2)已知f(x)＝7x2－28x－a，g(x)＝2x3＋4x2－40x，当x∈[－3，3]时，f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围. 解　(1)设F(x)＝x2－2mx＋2－m，则当x∈[－1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立， ①当Δ＝4(m－1)(m＋2)0时，即－2m1时， F(x)0显然成立.;(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝－2x3＋3x2＋12x－a， 则F(x)≤0对x∈[－3，3]恒成立， 即a≥－2x3＋3x2＋12x，对x∈[－3，3]恒成立， 设h(x)＝－2x3＋3x2＋12x，h′(x)＝－6x2＋