线性代数总复习教案.docVIP

2008-2009-2 线性代数A总复习 = 1 \* ROMAN I.试卷题型及分数分配大致： 选择题20分，填空题20分，计算题54分，证明题6分 = 2 \* ROMAN II.重要例题、习题： 第一章例题：P3例2；P5例4；P12例7；P13例9；P18例7（另解）；P21例13；P22例14； 习题：P26：1(1), 2(2,4), 3, 4(1,2), 9.11. 第二章例题：P35例4、例5；P39例7；P40例8；P41例9；P44例10、11、12、13； 习题：P54: 1(1,2,4,5), 2；7.8,10(1,3), 11（1）.14，15.16，19，22, ,23,27. 第三章例题：P64例2；P65例3；P68例6；P73例10；P75例11；12. 习题：P79: 1(3,4), 4(1), 5(1),6. 10(3), 13(2), 14(1.4), 17 第四章例题：P84例1；P85例2；P88例5；P88例6；P93例11；P97例12；P101例16；P103例1821；P106例24.25； 习题：P106: 1, 2, 4， 9, 12(2), 14.20(1), 26(2), 27, 28, 34,37.38 第五章例题：P114例2；P115例3；P118–120例5、例6、例7、例8、例9；P125例12；P126例13；P130例14；P131例15;例16; P133例17. 习题：P134: 2(1), 3(1), 6(1), 12,13, 19(1), 20, 21, 22, 28(1), 31(1),33. = 3 \* ROMAN III.基本内容 第一章 行列式 1.例: 计算下列各题: (1) 求逆序数 ; (2)确定行列式中项的符号, (3)计算 (=-7)，(4)计算（D=31） 2. 行列式的性质及按第i行（列）展开： 注意: 3. 克莱姆法则:AX=b (1)当时， (2) AX=0有非零解 。 例：当k为何值时，方程组有非零解。[ ∴k=2或-1] 第二章 矩阵及其运算 1矩阵的简单运算及性质: 例：设，求AB,BA 注意(1)一般地，AB?BA, (2)AC=BC不一定有A=B. (3); (4)为对称矩阵. (5)., (6) , (7) 2逆矩阵 Δ为可逆且. 例:求的逆矩阵 例：解方程：AX=B，，() 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1.行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形 例:化矩阵为行最简形 2初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵 3解矩阵方程， [特别地，当B=E时] 例 设,,试求解方程 解: 由 ∴ 4求矩阵的秩 [若，则] 例:求矩阵的秩。 第四章向量组的线性相关性 1 向量的线性组合 Δ b是的线性表示 有解 2向量组的线性表示(及) Δ B能由A线性表示(B中每个向量都能由A组向量线性表示) B=AK R(A)=R(A,B)即 3 A 、B两向量组等价A, B能相互线性表示 4向量组线性相关(线性无关)方程组有非零解(只有零解)[] 注意: 线性相关其中至少有一向量是其余向量的线性组合 例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，问k为和值时b,，线性向关,并用 ，线性表示b。 解：由行列式为0得k=5，令,得 由， 得， 例：设线性无关,证明：,,也线性无关 证：令,则： ∵线性无关 ∴ ∴ ∴也线性无关 结论(定理5)向量组线性相关向量组线性相关;反之,向量组线性无关向量组线性无关 （2）当向量维数nm时，向量组一定线性相关；特别地：n+1个n维向量线性相关 （3）若线性无关，而线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示法唯一 5．向量组A的最大线性无关组A0： (1)向量组线性无关，(2)A中而任意个向量 都线性相关 注意：A的最大线性无关组有多个，但每个最大线性无关组所含向量个数相等 例：,,,,求该组向量的一个最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量 解∴,,是一个最大无关组,且 6．齐次线性方程组:AX=0 (1)当时，有唯一解：零解； (2)当时，有无穷多组解。(自由变量数为n-r)，其通解为,其中S0：一个基础解系 7．线性方程组有解 (1)当时有唯一解; (2)当时有无穷多组解。(自由变量个数为n-r) 其通解为：++…+ (一个特解) 例：用基础解系表示如下非齐次线性方程组的通解: () 8向量空间的有关概念 (1)向量集构成向量空间的条件,会判断给出的向量集是否为向量空间 (2) 会判断给出的向量组是否