数学建模初等模型.pptVIP

第二章 初等模型 2.1 舰艇的会合 记v2/ v1=a通常a1 , 则|BP|2=a2|AP|2 2.2 双层玻璃的功效 2.3 崖高的估算 方法一 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 2.4 经验模型 最小二乘法 插值方法 最小二乘法 设经实际测量已得到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望 最小。 此式对a和b的偏导数均为 0，解相应方程组， 求得： 模型1（线性模型） 将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关 系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。你在作图 时L轴可以放 在50公斤或52公斤处，因为没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完成。 模型2（幂函数模型） 线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数，问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。 模型3（经典模型） (1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积A，即L=k1A (2)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2 (3)体重正比于身高 L的三次方， 即B=k3L3 模型4（O’ Carroll公式） (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) B-Bo =k3L3 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。 根据三条假设可 得L=k(B-B0)β, k和β为两个常数， β=ab/32/3, 此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤,β ≈1/3. 故有 L=k(B-35)1/3 模型5（Vorobyev公式） 上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式均满足在 B=75公斤时有 L’=L，则上述各公式化为 插值方法 §2.5 参数识别 例 录像带还能录多长时间 录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟的录像带在开始计数时为0000， 到结束时计数为1849，实 际走时为185分 20秒。我们从0084观察到0147共用时间3 分21秒。若录像机目前的计数为1428，问 是否还能录下一个 60分钟的节目？ 2.6 π的计算 t= an2+bn r θ R l 上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组： 从后两式中消 去t1，解得a=0.0000291