平稳时间序列模型的基本概念解析.pptVIP

3.1 时间序列的基本概念 一、随机过程 我们所要讨论的时间序列分析，只是对平稳序列及其有关的随机序列进行统计分析，而不是对所有的随机序列进行统计分析。 二、平稳时间序列 （一）两种不同的平稳性定义 （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 （三）平稳序列的自协方差和自相关函数 （四）白噪声序列和独立同分布序列 （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 （六）线性平稳序列 （七）偏自相关函数 （一）两种不同的平稳性定义 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值t1t2…tn，此序列中的随机变量Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有： Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s) 则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称为狭义平稳或强平稳过程。 此定义表明，严平稳的概率分布与时间的平移无关。 一般来说，若所研究的随机过程，前后的环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为它是平稳随机过程。 2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶矩，且Xt满足如下两个条件： 3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别 区别： （1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而不变。 （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。 联系： （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。 （2）若时间序列为正态序列（即它的任何有限维分布都是正态分布），那么该序列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。 注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我们研究的通常是宽平稳序列. 在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳序列。 （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布 随机过程是一族随机变量，类似于随机变量，可以定义随机过程的概率分布函数和概率密度函数。它们都是两个变量t, x的函数。 如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全部随机特征， 但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机变量的主要特征。 2.均值函数 一个时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}的均值函数指： 3. 时间序列的自协方差函数 4.时间序列的自相关函数 （三）平稳序列的自协方差和自相关函数 1.平稳序列的自协方差函数和自相关函数 若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自协方差函数，即： 相应的，严平稳序列的自相关函数记为： 2.平稳序列的自协方差序列和自相关函数列的性质 （四）白噪声序列和独立同分布序列 1.白噪声（White noise）序列 定义：若时间序列{Xt}满足下列性质： 白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。 2.独立同分布（iid）序列 定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。 可见独立同分布序列{Xt}是一个严平稳序列。 一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列。 （六）线性平稳序列 1.时间序列的线性 运算 设{Xt}与{Yt}为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=aXt+bYt t=0, ±1, ±2 …… 为序列{Xt}与{Yt}的一种线性运算。 2.时间序列的延迟运算 设{Xt}为一时间序列，d为一正整数，那么， Yt=Xt-d t=0, ±1, ±2 ……为Xt的d步延迟运算。 3.时间序列的线性与延迟联合运算 yt=a0xt+a1xt-1+ … +apXt-p t=0,1,2…为时间序列线性与延迟联合运算。 当ai=1/p，i=0,1,2, …时，{Yt}即为对序列{Xt}的移动平均序列。 4.时间序列的非线性运算 非线性运算的形式是多种多样的：如 yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。 5.平稳线性序列 设{at}为正态白 噪声序列