群论 第2章 群的线性表示理论.pdfVIP

第二章 群的线性表示理论 和置换群一样，矩阵群也有资格作为样板群，且适用范围更广。 群论在物理中的应用一般都是线性表示的形式； 我们对矩阵和数更熟悉。 F. G. Fronenius, W. Burnside 开创 一、群的线性表示 （linear representation） 1． 定义 n 线性表示即群G 到GL(n, C) 的同态：群G 的每个元素与一个 阶非奇异复矩阵T(g) 对 n 应，且保持群的乘法结构，g G,T(gh) T(g ，象f (G 称为群G 的一个 阶（线 )T(h) ) 性）表示。 单位表示 所有元素均映射为1   酉(unitary)表示 （幺正表示）Τ Τ1, TT 1 实表示 表示矩阵是实矩阵（广义定义是和实数矩阵等价的表示） 忠实（fidelity）表示 群表示和原来的群同构 ( −1) −1 ( ) 定理 T (e) 1 , = y 2 ． 例 A 2 D 3 作 群的线性表示。 3 写出3 维空间的旋转矩阵即可。 O x   e ：不动，T (e) diag 1,1,1 。 0   a ：绕1 轴转180 ，T (a) diag -1,1,-1 。 B C b 0 ：绕 2 轴转 180 。可以利用转动群的生成元按公式     b 1 expiJ  来写（参考转动群一章）。这里我们把 看成是 z z x ，且坐标 、 在平面内对2 轴作镜像。 y       n r c n 二维平面上的直线方程为 ，或n (r cn) 0 其中 是原点到直线的垂线方       c