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础 础 基 基 论 论 理 理 码 码 编 编 哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰 第二章简介抽象代数基本知识 第二章简介抽象代数基本知识 1 群的相关概念 2 环的相关概念 3 域及域上多项式 授课预计 (2学时) 本章教学基本要求 熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的 概念有所理解。了解环、域、理想、唯一分解环的定义, 以及域的扩张概念。能够计算群的元素阶，环中可逆元 零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构 基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。 了解多项式的 根和性质，掌握重根和导数的定理和理论。 重点：环、域，理想。环的同态，最大理想，商域,环、 理想、同态基本原理、域的扩张 难点：商群、商环。多项式和多项式的根。 Department of Mathematics §2.1 群的相关概念 7.1 一、代数系统 1,二元运算的定义 设f 是非空集合A ×A 到A 的一个映射，则称f 是A 上的一个二元运算。 设f 是非空集合A 到A 的一个映射，则称f 是A上 的一个一元运算。 代数运算通常用*和 表示，有时也读作乘。o ∀x , y ∈R z ∈R 例如， ，定义z=x+y-2 ，显然， ，可 记作z x ∗y 或z x oy 。 Department of Mathematics 因此，整数集、实数集上的加、减、乘法是二 元运算，非零实数集上的除法是二元运算，矩阵集 合上的矩阵加法、矩阵加法是二元运算，幂集上的 交、并对称差是二元运算，命题集合上的析取、合 取、蕴含等价、不可兼析取是二元运算。 整数集、实数集上的、求相反数是一元运算， 非零实数集上的求倒数是一元运算，矩阵集合上的 矩阵的转置是一元运算，幂集上的求补是一元运 算，命题集合上的否定是一元运算。 Department of Mathematics 例1. 设有函数 f :N2 →N ,对于任意(n , n ) ∈N 2 1 2 f (n , n ) n +n 1 2 1 2 例如，f (3,5) 8, f (5,3) 8, f (3,9) 12 例2. 设有函数 g :I 2 →I ，对于任意(i , i ) ∈I 2 ， 1 2 g (i , i ) i −i 1 2 1 2