-第3讲数列极限031.pptVIP

预先任意给定一个正数 ? 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 U(0, ? ) 中. （在 U(0, ? ) 外面只有有限项） 0 10 ) 1 ( e - - n n 其中, 是描述点 xn 与点 0 无限接近的 度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关. 不存在. 由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n ? ?. 通过目标不等式来寻找 N 0 , N = N(?). 不等式 称为目标不等式. 一般地, 如果数列{xn} 当 n ? ? 时, 列{xn} 当 n ? ? 时以 a 为极限, 记为 xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 此时, 也称数列是收敛的. 例4 0 0 1 若{ xn }当 n ? ? 时没有极限, 则称{ xn }发散. 若 时, 使当 记为 或 此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到它的极限值. 数列极限的定义： 例5 证 故取 则 n N 时, 由极限的定义, 得 例6 证 成立. 由极限的定义可知: 放大不等式法 例7 证 通常说成：常数的极限等于其自身. 例8 证 由绝对值不等式, 得 注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(?1)n}. 例9 证 逆命题成立吗？ * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 高 等 数 学 A（1） 第三讲 数列的极限 授课教师：彭亚新 第 二 章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 第 二 章 极 限 第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 四、数列的收敛准则 称为一个数列, 记为{ xn }. 1. 定义 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项 一、数列及其简单性质 数列也称为序列 2. 数列的表示法 公式法 图示法 表格法 运用数轴表示 运用直角坐标系表示 介绍几个数列 xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 例1 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 0 1 –1 x 所有的奇数项 所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 所有奇数项 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … 3. 数列的性质 单调性 有界性 (1) 数列的单调性 单调增加 不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说. 单调减少 不增加的 严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 统称为单调数列 数列 (2) 数列的有界性 回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形 我学过吗 ？ 数列的有界性的定义 如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？ 想想： | xn | M*, n ? N ?? xn ? U( 0, M* ), n ? N 从数轴上看, 有界数数列 { xn } 的全部点 都落在某区间 (－M*, M* ) 中. ( ) x 0 M* －M* ????? ????? 例2 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 观察例1 中的几个数列： 0 1 –1 x x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的. 若 xn ? M , M?R ,