第三章微分中值定理与导数的应用习题解答.docVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 SKIPIF 1 0 ． （２）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 有 3 个实根，分别位于区间 SKIPIF 1 0 中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件: SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，在 SKIPIF 1 0 内可导，且 SKIPIF 1 0 ，是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内至少存在一点 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 成立的（ B ）． A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在 SKIPIF 1 0 上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A.　 SKIPIF 1 0 B.? ? SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 ?? ?D. SKIPIF 1 0 （３）若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内可导，且 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 内任意两点，则至少存在一点 SKIPIF 1 0 ，使下式成立（ B ）． A． SKIPIF 1 0 B． SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 之间 C． SKIPIF 1 0 D． SKIPIF 1 0 3．证明恒等式： SKIPIF 1 0 ． 证明： 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 为一常数． 设 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 ． 4．若函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内具有二阶导数，且 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，证明:在 SKIPIF 1 0 内至少有一点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ． 证明：由于 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续,在 SKIPIF 1 0 可导,且 SKIPIF 1 0 ，根据罗尔定理知，存在 SKIPIF 1 0 ， 使 SKIPIF 1 0 ． 同理存在 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ． 又 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上 符合罗尔定理的条件，故有 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ． 5． 证明方程 SKIPIF 1 0 有且仅有一个实根． 证明：设 SKIPIF 1 0 ，　则 SKIPIF 1 0 ，根据零点存在定理至少存在一个 SKIPIF 1 0 ， 使得 SKIPIF 1 0 ．另一方面，假设有 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，根据罗尔定理，存在 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，这与 SKIPIF 1 0 矛盾．故方程 SKIPIF 1 0 只有一个实根． 6． 设函数 SKIPIF 1 0 的导函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，且 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是介于 SKIPIF 1 0 之间的一个实数． 证明： 存在 SKIPIF 1 0 , 使 SKIPIF 1 0 成立. 证明： 由于 SKIPIF 1 0 在 SKIPI