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RS码编码算法 一．RS编码 对于能够纠正t个错误的RS（n,k,d）码，具有如下特征： 码长：符号或比特 信息码元数：或比特； 监督码元数：符号或比特； 最小距离：符号或比特； 最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 式中的m是一个任意整数。 令信息元多项式为： 二．RS编码器的类型 1．基于乘法形式的RS编码器 公式： 结构图如下： 由上面结构的乘法编码器输出的码字是非系统码。 2．基于除法形式的RS编码器 （1） 根据生成多项式构造的除法编码器。 令 剩余多项式至少比低一次。 则编程的码多项式为 具体实现如下图： （2） 根据校验码多项式构造的除法编码器 设校验多项式为： 系统码的多项式为： 它的前位系数：是已知的信息位，而后位系数：是需求的校验位。码多项式必是生成多项式的背式，所以 而 由于 所以的最低位次数至少为次，而在的乘积中的次数为0。 的系数： 的系数： 而 由于为首一多项式，，故上式可写为 上式展开为： 由上式看出码字的第一个码元可由个信息元与的系数相乘得到，而由可得到第二个校验元，再由信息元和第一、第二校验元可得到第三校验元。按这样的线性关系递推，一直可求得所有的个校验元。 具体实现如下图： （3） RS的时域编码实际例子 RS码是非二进制码，它是在上的，这里。这里我们选用域来进行，域中16个元素可用4bits符号表示。 例 构造一个能纠正3个错误符号，码长为15，m=4的RS码。求生成多项式和编码电路。 解：当时，最小码距，信息元长度。该码为（15，9）RS码，其生成多项式为： 由分圆多项式多项式： 是本原域元素，它是多项式的根，则 或 以为模的的元素如下表： 0001 0101 0010 1010 0100 0111 1000 1110 0011 1111 0110 1101 1100 1001 1011 0001 中每个元素都可表示成它的自然基地（在域上）的线性组合，如下形式： 因此在上的进制RS码，它的编码电路可用或级进制寄存器实现。本例是用级乘法器电路实现，如下图。图中的移位积存器必须是由能积存16进制的元件组成，这可用4级触发器组成的移存器完成。常乘器可用模2加法器构成。 在域上的系数可用自然基地表示为如下形式： 中乘的转换电路如下表示： 式中： 中乘的转换电路如下表示： 中乘的转换电路如下表示： 中乘的转换电路如下表示： 中乘的转换电路如下表示： RS编码器具体实现电路如下图所示： 工作过程如下： （1） 门打开，开关拨到符号输入端，所有移存器清0。然后将6个16进制信息符号，一边送入移存器，一边送入信道。注意每一节拍移动一个16进制符号。 （2） 6个16进制符号送入移存器后，完成除法运算，移存器中的就是余式。此时，门关闭，开关拨到下面。再经过6个节拍的移动，得到所有6个校验元，并且跟随信息元送入信道，完成一个码字的编码过程。 （3） 清洗积存器，打开门，开始第二组信息元的编码。