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第第55章章 矩阵及其特征值计算矩阵及其特征值计算 1 • 1 特征值性质及其估计 • 22 幂法及反幂法幂法及反幂法 •• 33 QRQR方法方法 矩阵计算的基本问题 线性方程组解线性方程组解 Ax b 超定方程组的二乘解超定方程组的二乘解 minmin |||| AxAx − bb |||| 22 矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量 AxAx λλxx 一一、、问题问题 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，， 如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域 中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到 该理论该理论。。 4 矩阵特征值 AAx λλx 求绝对值最大的特征值 求全部特征值 5 二、特征值与特征向量 设设A 为为n 阶方阵阶方阵，，如果存在数如果存在数λ 和和n 维维非零非零向量向量X 使得AX= λ X ，则称数λ 为方阵A 的特征值，非零 向量X 称为A 的属于特征值λ 的特征向量。 注意 (1) 特征值λ 可以为零； (2) 属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。 比如比如，，若若XX 是矩阵是矩阵AA 的属于特征值的属于特征值λλ00 的特征向量的特征向量，， 则k X (k ≠ 0) 也是A 的属于特征值λ0 的特征向量。 6 定义定义11 ⑴已知n 阶矩阵A= ((a )) ，则 ijij λλ − − − ⎛⎛ a11 a12 L a1n ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − a21 λ − a22 L − a2n ⎟ ϕϕ ((λλ )) det(det(λλII − AA)) detdet⎜⎜ M M O M ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − aa − aa L λλ − aa ⎟ ⎝⎝ n11 n 22 nn ⎠⎠ λn