2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.6-圆锥曲线的综合问题.docVIP

§10.6　圆锥曲线的综合问题 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 圆锥曲线的综合问题 1.了解圆锥曲线的简单应用. 2.理解数形结合的思想. 3.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 掌握 9,5分 21(2),9分 9(文),5分 22(文), 约9分 21,15分 17(文),4分 22(文), 约10分 19,15分 19(文),15分 19(2),7分 19(2)(文), 9分 21(2), 约9分 分析解读　　1.圆锥曲线的综合问题是高考的热点之一,主要考查两大问题:一是根据条件求出平面曲线的方程;二是通过方程研究平面曲线的性质. 2.考查点主要有:(1)圆锥曲线的基本概念和性质;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合问题;(2)有关定点、定值问题,以及存在性等探索性问题. 3.预计2019年高考试题中,圆锥曲线的综合问题仍是压轴题之一,复习时应引起高度重视. 五年高考 考点　圆锥曲线的综合问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(　　) A.5 B.+ C.7+ D.6 答案　D 2.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　) A. B. C.3 D.2 答案　A 3.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值. 解析　本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. (1)设直线AP的斜率为k,k==x-, 因为-x,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ=. 因为|PA|==(k+1), |PQ|=(xQ-x)=-, 所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值. 解法二:如图,连接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=·(-)=·-. 易知P(x,x2), 则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+. ∴|AP|·|PQ|=-x4+x2+x+. 设f(x)=-x4+x2+x+, 则f(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, ∴f(x)在上为增函数,在上为减函数, ∴f(x)max=f(1)=. 故|AP|·|PQ|的最大值为. 4.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:+=1(ab0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限. (1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标; (2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b. 解析　(1)设直线l的方程为y=kx+m(k0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为. 又点P在第一象限, 故点P的坐标为P. (2)证明:由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0, 所以点P到直线l1的距离d=, 整理得d=. 因为a2k2+≥2ab,所以≤=a-b, 当且仅当k2=时等号成立. 所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b. 5.(2013浙江,21,15分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程. 解析　(1)由题意得 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1. 又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 故x0=-. 所以|PD|=.