Diracδ函数及其性质.pptVIP

一、 Dirac δ函数 1°Diracδ函数的定义 2°Diracδ函数可以用一些连续函数的序列极限来表示 3°Dirac δ函数的性质 4°复合函数形式的Diracδ函数——δ[h(x)] 5°二维Diracδ函数 * * M M Q Q I 激光脉冲及其它小光源 早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。 1947年，英国物理学家P.A.M.Dirac在他的著作《Principle of Quantum Mechanics》中正式引入δ(x)，并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。 δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’，原因在于： 一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大； 二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。 1°Dirac δ 函数的定义 对于自变量为一维的δ函数-——δ(x)来说，它满足下列条件： (1) 这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷大极值，x=0点又称为奇异点。 但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1，即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x)又叫做单位脉冲函数。 很显然，等式： (2) 成立。 f(x)是定义在区间(-∞，∞)上的连续函数。 在光学里，δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。 在(1)和(2)中变换原点，得到： (3) 其中a为任意常数。 因此用δ(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用a代替x的过程。 *定义的另外形式： 2°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示 1)、归一化的Gauss分布函数G(x)： (4) 该函数具有如下的性质： (5) 当σ→0时，G(x)就趋向于δ(x)，即： (6) (1) (3) 证明： 由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时， 而当x≠0，σ→0时， 由公式(5)得： 所以由公式(6)所定义的函数满足δ(x)函数的条件(1)式。可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示δ(x)函数。 2)、函数 的极限 也满足δ(x)函数的条件： (7) 其中α0。 证明： 当x=0时， 当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小。 所以，当α→∞时， 于是有： 当α0时，查找定积分表可得到： 所以有： 的极限 根据上述讨论可知，函数 满足δ(x)函数的条件，可以表示Dirac δ(x)函数，即(7)式成立。 3)、函数 的极限 也满足δ(x)函数的条 件，即： (8) 其中α0。 证明： 当x=0时， 当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小。所以： 当α→∞时，sin(αx)/(αx)→0 于是有： 查找定积分表可得到： 于是有： 根据上述讨论可知，函数 的极限 可以表示Diracδ(x)函数，即式(8)成立。 (8) 4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac δ(x)函数。 根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定义如下： (9) 函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件，即： (10) 很容易看出，当x≠a时， 而当x=a时， 利用分步法计算积分，有： 根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Dirac δ(x)函数，即式(10)成立。 证明： 3°Dirac函数的性质 性质1)、积分性质：δ函数的定义式： 即表明了δ函数的积分性质，这个积分也可称之为δ函数的‘强度’。 性质2)、筛选性质：式(2)表明了δ函数的筛选性质。 则是其推论。 (2) 而式(3)中的 由此得出推论： 性质3)、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零，则有： 推论1： δ(-x)=δ(x) 说明δ函数具有偶对称性。 推论2： 性质4)、δ函数的乘法性质：如果f(x)在x0点连续，则有： 由此得出推论： xδ(x)=0 和