超级市场的最佳经营方案.docVIP

No.3 韶关学院学生数学建模论文集 第三期（2004年12月） PAGE 74 超级市场的最佳经营方案 颜学友，黄雅丽，黄绮玲 （1．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005； 2． 韶关学院2002级信息技术(2)班，广东韶关512005） [摘要]:本文根据超级市场中商品的实际运作过程，针对韶关市某大型超级市场在进货策略方面存在的问题，建立了分类处理模型和基于商品价格的需求模型.分类处理模型对于超级市场所经营的生鲜商品和日用商品，分别建立了不考虑中断（缺货）损失和考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略模型．然后利用超级市场所提供的数据对以上建立的模型进行了检验，效果良好，具有普遍的实用性；基于商品价格的需求模型从经济学角度对该问题进行分析，利用了经济学中的价格弹性理论，得出了需求量与销售价格之间满足半对数函数关系，其关系式为(各参量的意义见符号约定)，然后将韶关地区的各参量代入后，得到了“需求量－价格”函数关系式，为超级市场提供了一定的参考价值． 关键词: 超级市场;需求量;生鲜商品;日用商品;需求价格弹性 1 问题的提出 韶关市某大型超级市场每天需要储存大量物品以满足顾客的需要，经营的品种分为贮存时间较短的生鲜商品(如：蔬菜、面包、熟食等)和贮存时间较长的日用商品(如：洗涤用品、香烟、毛巾等)．该超市常常碰到以下问题： 商品进货策略把握不好，有些商品脱销，有些商品积压．其后果是减少了超级市场的收益．另外，有些商品缺货会造成顾客的抱怨，以至影响该超级市场的声誉，导致超级市场出现缺货损失． 　　在竞争激烈的市场经济条件下，该超市试图确定最佳进货方案，使得支付的总费用最小，以期获得最大利润． 2 模型的假设 2.1顾客的需求量是随机的． 2.2超级市场周期初所定的货物立即到达． 2.3生鲜商品的保质期为销售的一个周期，一个周期只定一次货． 2.4生鲜商品在一个周期内没有售出的(超过保质期)，不再贮存，立即折价售出． 2.5日用商品在一个周期未售出的，进入下一个周期的销售，并且摆在货柜的最前面，即不考虑保质期的影响． 2.6超级市场的商品在一个周期内，其进货价和销售价保持不变． 3 符号约定 商品一个周期的定货量 顾客的需求量，是一个连续的随机变量 　　　　需求量r的密度函数 定货费(与数量无关) 单位商品的进货价 单位商品一周期的贮存费 销售价 生鲜商品一个周期内未售出的商品，折价售出时单位商品的售价 缺货损失费 日用商品一个周期末的存货量 日用商品一个周期初的定货量 商品的需求价格弹性 　　　　　商品的定价 　　　　　商品零售价格指数 　　　　　消费者的收入水平 4 问题的分析 超级市场进货后整个运转过程可用以下流程图表示： 超级市场 超级市场 经营方案 边销售，边贮存．付贮存费 未售完的立即折价售出 一个周期（保质期） 边销售，边贮存．付贮存费 未售完的进入下一个周期 的销售 一个周期 生鲜商品 日用商品 从以上流程图可知，我们需要分为生鲜商品和日用商品两大类分别建立数学模型．对于生鲜商品到周期末未售出的，要立即售出不在贮存，因为已经过了保质期；对于日用商品到周期末未售出的，进入下一个周期的销售，而且应放在货柜的最前面，这样，我们不用考虑其保质期． 从经济学角度考虑，销售量是关于价格的递减函．对于该超级市场里的任意商品，我们可以根据超级市场提供的其销售的历史资料，进而找出较合理的“销售量－价格”函数关系式，进而可以预测出进货量．超级市场在进货时，可以根据“销售量－价格”函数关系式确定进货量． 5 模型的建立和求解 5.1 分类处理模型 5.1.1生鲜商品进货方案 不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略 不考虑中断损失，那么平均费用为定货费、进货费以及贮存费的总和．由于需求量是随机变量，密度函数是,所以一个周期的累计贮存量为．此时，平均费用为 说明：因为需求量是一个随机变量，所以的值也是不定的，超级市场若要确保不缺货，那么进货量一定要大于需求量． 下面对上式进行分析，进而确定进货量，使得总费用最小： 当时， ． 令,得 (1) 由于(1)式右边为负数，两边同时加上，且将代入，得到 (2) 由于，即函数存在最小值．所以满足(2)式的可以使平均费用达到最小． 当时， ． 令,得 (3) 同理，由