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复杂商的导数题型总结 　　第一章导数及其应用　　一，导数的概念1..已知f(x)?1　　,则f(2??x)?f(2)　　x　　?lim　　x?0　　?x　　的值是　　A.?1　　4　　B.2C.14D.－2　　变式1：设f??3??4,则limf?3?h??f?3?为　　h?02h　　A．－１　　Ｂ．－2　　C．－3　　D．1　　变式2：设f?x?在x0可导,则?limf?x0??x??f?x0?3?x?　　x?0　　?x　　等于　　A．2f??x0?B．f??x0?C．3f??x0?　　D．4f??x0?　　导数各种题型方法总结　　请同学们高度重视：　　首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：对称轴与定义域的关系端点处和顶点是最值所在　　其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础　　一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；　　1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f　　(x)?0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；　　其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：　　第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论　　第二种：变更主元-----；　　例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常　　f(x)?x4mx33x2　　数，12?6?　　2　　若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；　　若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a　　的最大值.　　解:由函数f(x)?x4mx33x2x3mx212?6?2得f?(x)?3?2　　?3x　　?g(x)?x2?mx?3　　?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，　　则?g(x)?x2　　?mx?3?0在区间[0,3]上恒成立　　解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0　　?　　?g(0)　　?0?g(3)?0?????30?　　?9m3??3?0m?2　　解法二：分离变量法：　　∵当x?0时,?g(x)?x2　　?mx?3??3?0恒成立,当0?x?3时,g(x)?x2?mx?3?0恒成立　　等价于m?x2?3x?x?3　　x的最大值恒成立，而h(x)?x?3　　x　　是增函数，则hmax(x)?h(3)?2　　?m?2　　(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”　　则等价于当m?2时g(x)?x2　　?mx?3?0恒成立　　变更主元法　　再等价于F(m)?mx?x2　　?3?0在m?2恒成立　　???F(?2)?0?F(2)?0?????x2?x2　　??3??0?1?x?1?　　2x?x2　　?3?0?b?a?2　　例2?3a2x?b(0?a?1,b?R)　　若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.　　解：f?(x)??x2?4ax?3a2　　???x?3a??x?a?　　?0?a?1　　令f?(x)?0,得f(x)令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为和　　∴当x=a时，f(x)极小值=?　　34　　a3　　?b;当x=3a时，f(x)极大值=b.　　由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x2　　?4ax?3a2　　?a恒成立①　　则等价于g(x)这个二次函数?　　?gmax(x)?a?gg(x)?x2?4ax?3a2　　的对称轴x?2amin(x)??a　　?0?a?1,　　a?1?a?a?2a即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。　　g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.　　∴　　g(x)max?g(a?2)??2a?(x)min?g(a?1)??4a?4.　　于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于　　??　　g(a?2)??4a?4?a,?　　g(a?1)??2a?1??a解得4　　5?a?1.又0?a?1,∴　　4　　5　　?a?1.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴与