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第十章 应力应变分析 本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。 应力的量纲 §10.2 平面应力状态 若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。 例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体 例如外力作用在板平面内的薄板 设不为0的应力分量都位于xy平面内 §10.3 应力圆 一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。 §10.4 三向应力状态 单向、双向、三向应力状态 * * §10 .1 一点处的应力状态 内力是截面上的分布内力的等效力系 载荷集度 称为 上的平均应力 将 分解为与 法向和切向的力 ， 则 称为正应力（法向应力） 称为剪应力（切应力） M点在截面上的正应力 M点在截面上的剪应力 一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度 以及 的法向 相关,因此可用两个并在一起的矢量 表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量 一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面 上的应力,其与 轴正向的夹角 以逆时针方向为正 初始单元体： 显然： 由 将 代入 由 同理可得 (a) (b) (c)式有两个解 将(c)式代入(b)式有 单元体上剪应力为0的截面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值 、 以主平面为单元体的各面称为主单元体 同理可求出 的极值 及 例已知初始单元体上的应力（Mpa） 求主单元体上的应力并画出主单元体 解： 由 (a) (b) 上两式两边平方后相加 则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆 圆心坐标 ： 半径 ： 将三个主应力按代数量的大小顺序排列 因此根据每一点的应力状态可以找到3个相互垂直的主应力 例：求 解： 在 ， 平面内 虎克定律 比例系数 称为材料的弹性模量 比例系数 称为泊松比 §10.5 应力应变关系 1、单向应力状态 2、纯剪应力状态 在线弹性范围内 剪切虎克定律 ——剪切弹性模量 可证明 只有 作用时 3、广义虎克定律