矢量分析与场论 天津大学 流体力学基础 课件.ppt

* 例4 证 * 根据定理一可知, * 二、函数的连续性 1. 连续的定义: 连续的 三要素: （1） f(z)在z0处有定义 （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值 * 2. 连续函数的性质 定理1.3 * 例如, * 例 试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续 证1： 证2： * 特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. * 例5 证 * 3.有界闭集上连续函数的性质 定理1.7 设E是有界闭集，f(z)??C(E),则有： （1） f(z)在E上有界： ?M0 ??z?E |f(z)|M （2） |f(z)|在E上有最值. 即： ?z1, z2?E? ?z?E |f(z)||f(z1)| ,|f(z)||f(z2)| （3） f(z)在E上一致连续.即 ??0, ??0 当z1, z2?E且|z1- z2|? ?有|f(z1)-f(z2)|? * 复平面点集的几个基本定理 定理1.4 (Bolzano-Weierstrass)聚点定理 每一个有界无穷点集,至少有一个聚点 定理1.5(Conton闭集套定理) 设有无穷闭集列{?Fn}, ?Fn ? ?Fn 定理1.6(Heine-Borel定理) * 小结与思考 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多. 1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了. * 思考题 “函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？ * 思考题1答案 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的. 思考题2答案 没有关系. 极限值都是相同的. 放映结束，按Esc退出. * §5 复变函数的定义 1.复变函数的定义: * 2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合: * 4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 若令z=rei? ,则 w=f(z)=u(r,?)+i v(r,? ) * 复变函数的几何意义 （1）. 引入: * （2）复变函数的几何意义: 取两张复平面，分别称为z平面和w平面 * * (3). 两个特殊的映射: * 且是全同图形. * * 根据复数的乘法公式可知, * (如下页图) * W 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形. * 以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线) * 6. 反函数的定义: * 根据反函数的定义, 当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射. * 解 例1 还是线段. * 例1 解 * 例1 解 仍是扇形域. * 例2 解 * 所以象的参数方程为 * §6 、复变函数的极限与连续 1.函数极限的定义: 注意: 一.函数极限: * 2. 极限计算的性质 定理1.2 证 根据极限的定义 (1) 必要性. * (2) 充分性. * [证毕] 说明 * 定理 与实变函数的极限性质类似. 惟一性 复合运算等 * 例3 证 (一) * 根据定理一可知, 证 (二) * [2) 平面调和场．我们先介绍平行平面场的概念： 如果某个矢量场具有这样的几何特点，就是场中所有的矢量都平行于某一平面π，而且在垂直于π 的任意直线的所有点上，场中矢量的大小和方向都相同，则称这种矢量场为平行平面场，通常把平行平面场简称为平面场． 现在来看平面调和场，平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量场．和空间调和场的概念完全类似，但它比起空间调和场来说，具有某些特殊性质： 这两个方程即是二维拉普拉斯方程．由此可知：函数u与v均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数。又因二者由(5．21)式联系着，并称其为共轭调和函数，（5.21)式为共轭调和条件．应用达个条件，就可以从u与v中的一个求出另一个来， 二、复数表示法 1． 复平面 一个复数z＝x十iy由一对有序实数(x，y) 确定，所以在平面上取直角坐标系XOY，就可以用坐标为(x，y)的点表示复数z＝x+iy(于是复数就与平面上的点一一对应。实数与x抽上的点一一对应，X轴称为实轴； 纯虚数iy与y轴上的点一一对应，y称为虚