三角函数的正交性.pptxVIP

第十一章 第七节傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, ?为角频率,φ为初相 )复杂的周期运动 :(谐波迭加)令得函数项级数称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1. 组成三角级数的函数系正交 ,即其中任意两个不同的函数之积在上的积分等于 0 .证:同理可证 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 .且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且①右端级数可逐项积分, 则有②对①在证: 由定理条件,逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 (利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ①②称为函数由公式 ② 确定的的傅里以的傅里叶系数 ;叶系数为系数的三角级数 ① 称为的傅里叶级数 . 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2?的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为连续点 x 为间断点( 证明略 )其中为 f (x) 的傅里叶系数 . 简介 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 先求傅里叶系数机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数.解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 当时, 级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法周期延拓其它傅里叶展开上的傅里叶级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 将函数展成傅里叶级数 .解: 将 f (x)延拓成以 则2?为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 设已知又机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2? 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2? 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为正弦级数,它的傅里叶系数为周期为2?的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 是周期为2? 的周期函数,它在例4. 设的表达式为 f (x)＝x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.解: 若不计周期为 2? 的奇函数, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 n＝1n＝3n＝4n＝2n＝5根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:是周期为2? 的周期偶函数 , 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数偶延拓奇延拓周期延拓 F (x)周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ? ]上展成 f (x) 在 [0 , ? ] 上展成余弦级数正弦级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将