财务金融上的一个数学问题文档.doc

財務金融上的一個數學問題 傅承德教授 中央研究院統計研究所 2001/06/09 在中央大學數學系的演講內容 張紘誠、邱淑惠整理 財務與數學 我所要講的題目是財務金融上的一個數學問題。我們知道當一個學問逐漸成熟的時候，數學問題就會產生，如今就我所了解財務金融上的一些成熟問題，可以用數學來解決。 接下來，我從網路上看到一篇文章，內容是介紹今年美國必威体育精装版的職業評比年鑑，把美國的各行各業做了排名。這是美國的職業排名，而台灣即將加入WTO，所以職業的優劣將很有可能會跟美國一樣。在250個行業中，今年最佳行業的第一名為財務規劃師，去年第一名的網路經理人則落居第二，電腦系統分析師則落居第三，保險公司精算師與電腦程式設計師並列第四。連續兩年排名前十名的行業都與數學或電腦有關，可見數學不只是一門有趣的學問，而且還很實用，換句話說就是還可以賺錢，一般來說財務規劃師是薪水比較高的職業。一個財務規劃師的年薪是10萬美金，比較有名的則有30萬美元。 那麼財務規劃師到底在做什麼事情呢？跟數學又有什麼關係？我舉一些最簡單的例子來說明。 我們先來介紹近代財務數學。它本身是財務上的一個問題，後來變成數學上的一個問題，所以近代財務數學成為一個重要的方法。一個投資的法則，在最理想的狀況下如何運作。我引用馬可夫的博士論文來說明，其細節就不多談，他後來得到諾貝爾經濟獎，但是他本身卻是做數學出身的。 選擇權理論 我們今天最主要的重點就是要講選擇權理論，選擇權理論這個被提出來的模型是財務上的一大突破。 什麼是選擇權呢？它基本上是一種付訂金的契約行為，假設我們去買一棟房子或是買車子，在買之前通常要付訂金，付了訂金之後他就一定要賣給你。在這裡也是一樣，在股票市場上也是這種情形。假設現在股票很低了，聯電只有80塊，你期望一年以後它會漲，可能漲到120塊，就可以跟券商簽一個合約，一年以後你可以用100塊的價位跟他買股票。如果一年後股票真的超過了100塊，你就可以用100元向券商買股票，他一定得賣給你；如果一年後股票沒有超過100元，那麼你也可以不用向券商買股票。 這個合約看起來是對買的人有利，假設一年後真的漲到120塊，那我可以用100塊向券商買，我就賺到了20塊；假設一年後跌了剩90塊，不到100塊，那我也可以不要買。在這利益之下，這就跟買車子是一樣的，簽合約之後他就一定得把車子賣給你，但是買車子之前一定要先付訂金，在這裡股票也是一樣，要不然永遠都只有對買方有利而已，這就是最基本的選擇權理論。 數學模型 這裡又出現一個新的問題，一開始要付多少的訂金才是合理的呢？這是一個很簡單財務上的一個數學問題。早期的數學問題，不管是物理還是機械問題，都需要一個模型，在財務上也需要有個模型。當一個模型給定之後，我們用一個數學概念及財務上的概念來算option price，而且模型當然要符合股票市場，跟著股票市場走。 考慮一個最簡單的模型，以一個月為單位，假設現在的股票是10元，它是二項分佈，跟擲骰子一樣，不是正面就是反面。假設這10元的股票一個月後不是12元就是8元，那要如何來算呢？我們就說一個想法，假設我們的資金投資只有兩種方法，一種是只能放定存，一種是買股票。如果10元放定存，假設月利率為百分之十，則一個月後10元就變成了11元，這個利潤是固定不會變的。如果拿錢買股票，它的價錢會變來變去，一個月後可能變12元，也可能變8、7元，這是不固定的、有隨機性的。 我們都不太會處理隨機性，一般人都會希望沒有隨機性，因為有隨機性我們沒有辦法預測它的價格。但是在股票市場上是隨機的價格，而這隨機的價格有沒有辦法把它變成固定的價格呢？假設有辦法變成固定的價格，那麼上面的兩種投資的方法就可以互相比較了。 如何把隨機價格變成固定價格？我們可以從跑馬的方式來看。假設有一匹白馬和一匹黑馬在比賽，我兩匹馬各賭一塊錢，不論那一匹馬跑贏，一邊賺一塊一邊輸一塊，我都是不輸不贏，這種完全避險的方法就可以拿來用在股票市場上。 不確定性 我們重新來看前面的問題，在數學上有沒有新的了解？大家一定會疑問，之前假設股票是二項分佈，這件事是沒有人會相信的。沒有人會相信股票10元一個月後只會變成12元或8元，連三歲小孩都不會相信。所以我們要看看怎樣解決這問題，解決這問題之前我們要先看剛才的想法在數學上有什麼意思？ 在這之前我們先說到機率，機率通常先問我們的目的是什麼？我們的目的一開始就面對一個不確定的事情，就好比說氣候的不確定性。大家都面臨過很多的不確定性：開車從台北到中壢，每次花的時間都不一樣，我們希望去描述這一個不確定性。 在高中學機率時，會告訴你一個描述不確定性的方法，就是期望值。知道一個機率結構之後，就接著求它的期望值，期望值可以做為一個參考，把一個不確定性的東西有確定的描述。但是我們之前說的，都沒有用到期望值。