第23节正弦定理和余弦定理地应用.docVIP

PAGE 实用文案 标准文档 第三章 三角函数、解三角形 第八节正弦定理和余弦定理的应用 测量中的有关几个术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　　) (3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　　) (4)方位角大小的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，方向角大小的范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50eq \r(2) m　　　　　　 B．50eq \r(3) m C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m 解析：选A　由题意知∠CAB＝180°－∠ABC－∠BCA＝30°， 由正弦定理得eq \f(AB,sin∠BCA)＝eq \f(BC,sin∠CAB)， 所以AB＝eq \f(BC·sin∠BCA,sin∠CAB)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)． 3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为(　　) A．10eq \r(2) m B．20 m C．20 eq \r(3) m D．40 m 解析：选D　设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝eq \r(3)x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m. 4．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上． 解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 答案：北偏西15° eq \a\vs4\al(考点一　测量高度问题)　　　　eq \a\vs4\al(?重点保分型考点——师生共研?) 利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力.考查频率一般，试题难度中等. [典题领悟] (2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m. [思维路径] (结论)求CD→放在△ACD中求解→在Rt△ACD中知∠DAC→(关键点)需再知AC→在△ACM中，易知两角与一边，用正弦定理可解得． 解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq \f(AM,sin∠MCA)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，即eq \f(1 200,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq \r(6).在△ACD中， ∵tan∠DAC＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(\r(3),3)， ∴DC＝600eq \r(6)×eq \f(\r(3),3)＝600eq \r(2). 答案：600eq \r(2) [解题师说] 求解高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图