变化率和导数（一）.pptVIP

变化率与导数(一) 微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 1.1.1变化率问题 * 实验中学：王飞 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度 达到8.52m/s。 平均速度的数学意义是什么 ? 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度． 变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.620.16 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 问题2:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米) 起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的 平均速度粗略地描述其运动状态? h t o 思考:如何求(比如,t=2时的)瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势?： 在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度是不 同的. 平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 我们用 表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1” 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示? 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作 (3)由导数的定义知,求y=f(x)在x0处的导数的一般步骤是: 结论:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k. 2. 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要 对原油进行冷却和加热. 如果第x h时, 原油的温度(单位: 0C)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8). 计算第2 h和第6 h时,原油温 度的瞬时变化率,并说明它们的意义。