数学竞赛中的函数方程问题.pdfVIP

维普资讯 36 中学数学研究 2003年第 3期 怎样解数学竞赛 中的函数方程 问题 浙江省庆元中学(323800) 姚荣峰 所谓函数方程就是含有未知数的等式 ．在数学竞 令 =0 = t，则 (*)式化为 ： 赛中，经常会出现一些与函数方程有关 的问题 ，这类问 f(t)+f(一t)=2f(0)cost． (1) 题一般是求解某一给定 的方程 ．解决这类问题的方法 令x：罟 +￡，Y=詈，代人(*)式得 灵活多样 ，技巧性很强，下面通过例题介绍解决这类 问 (7r+t)+ t)=0． (2) 题的一些基本方法和技巧 ． 1．换元法 令 ：詈，Y=号+f，42Z．(*)式得 基本思路 ：先对函数方程 中的变量进行适 当的代 7r+￡)+，(一￡)=一2 )sint． (3) 换 ，得到一个关 于未 知 函数 的代数方程组 ，再解方 程 组 ，得出所求函数的解析表达式．换元法的关键是要找 由(1)、(2)、(3)得 ￡)= (0)c∞￡+ (等)sint． 到代换的方法． 例 1 设 F()是对除 =0及 =1以外的一切 令n= 0)，b= 詈)，并把 ￡换成 ，得 f()= O~COSX+bsinx． 实数有定义的实值函数 ，且 F()+F( )=1+ ， 2．柯西 (Cauchy)方法 求 F()． 基本思路 ：首先求 出 自变量取正整数 时函数 的解 解 ：令 =L (y≠0，Y≠1)，4Lz．Ni$i数方 析表达式 ，然后顺次证明 自变量取整数 、有理数 、直到 J 一 切实数时，函数的解析表达式仍具有这种形式，从而 程 ，得 得到函数 的解析表达式．这是一种爬坡式的推理过程． F( )+F( )= ． (1) 例3 设 是定义在有理数集Q上的实值函数 ，且 对一切 ，yE Q，有 ( +，一)= )+厂())，求一切 令：= ，则一专= ，4LZ．(1)式得 ． 可能的f()． F( )十F(z)= · (2) 解 ：由原方程 ，用数学归纳法可证得 ： l — l — Z 把 (1)、(2)中的 ，，，z换成 ，有 f(1+ 2+… + n) = f(1)+f(X2)+… + )． F()+，