必修四数学的重点内容.doc

新课程高中数学必修4基础知识汇整 第一部分 三角函数与三角恒等变换 1．任意角和弧度制 ⑴ 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角 ⑵ 弧度数公式： ⑶ 角度制与弧度制的互化： 弧度，弧度，弧度. ⑷ 弧长公式：； 扇形面积公式：. 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么y叫作α的正弦，记作sinα； x叫作α的余弦，记作cosα； 叫作α的正切，记作tanα. ⑵ 角中边上任意一点为，设，则： . 三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP； 余弦线：OM； 正切线： AT. 4．诱导公式： 角 函数 正弦 余弦 正切 / / 六组诱导公式统一为“”， 记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限. 记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系： （平方和关系）； （商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切： ① ； ② ； ③ . 两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用： 7．辅助角公式：=. 8．二倍角公式： ① ； ② ； ③ . 变形：升幂公式： ; 降幂公式：； . 9.物理意义： 物理简谐运动，其中. 振幅为A，表示物体离开平衡位置的最大距离； 周期为，表示物体往返运动一次所需的时间； 频率为，表示物体在单位时间内往返运动的次数； 为相位； 为初相. 10．三角函数图象与性质： 函 数 图象 作图：五点法 作图：五点法 作图：三点二线 定义域 （－∞，＋∞） （－∞，＋∞） 值域 ［－1，1］ ［－1，1］ （－∞，＋∞） 极值 当x＝2kπ＋,ymax=1极大； 极大 当x＝2 kπ＋ymin=-1 当x＝2kπ,ymax＝1； 当x＝2kπ＋π,ymin＝－1 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 T 2π 2π π 单调性 递增 递减 递增 递减 递增 （注：表中k均为整数） 11. 正弦型函数的性质及研究思路： ① 最小正周期，值域为. ② 五点法图：把“”看成一个整体，取时的五个 自变量值，相应的函数值为，描出五个关键点，得到 一个周期内的图象. ③ 三角函数图象变换路线： . 或： . ④ 单调性： 的增区间， 把“”代入到增区间， 即求解. ⑤ 整体思想： 把“”看成一个整体，代入与的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值. 第二部分 平面向量 1. 向量与数量： 在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为或（起点A，终点B）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为或. 规定长度为0的向量叫做零向量，记为；长度等于1个单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作. 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为，规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法： 向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则. 如图所示，已知非零向量，在平面内任取一点O， 作，则向量. 若作，则向量. 向量的加减法满足：交换律；结合律. 向量不等式：对于任意两个向量，有. 向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 4. 向量数乘运算： 实数与向量的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作， 并规定：① ； ②当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当时，. 数乘运算满足下列运算律： 分配律、； 结合律. 对于任意向量，以及任意实数，恒有. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 向量夹角： 对两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则叫做向量与夹角. 当与夹角是90°时，与垂直，记作. 正交分解： 依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可分解为不共线的两个向量与，使. 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使得. 即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作，式子叫做向量的坐标表示. 6. 平面向量的数量积运算