高考真题突破：数学归纳法.docVIP

专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 解答题 1．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）． 2．(2015湖北) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小； （Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； （Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：． 3．(2014江苏)已知函数，设为的导数，． （Ⅰ）求的值； （2）证明：对任意的，等式成立． 4．（2014安徽）设实数，整数，． （Ⅰ）证明：当且时，； （Ⅱ）数列满足，， 证明：． 5．（2014重庆）设 （Ⅰ）若，求及数列的通项公式； （Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论． 6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值； （Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当为正有理数时，有求导公式. 7．（2011湖南）已知函数，. （Ⅰ）求函数的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列{}（）满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有≤?． 专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 答案部分 1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当时， 假设时，， 那么时，若，则，矛盾，故． 因此 所以 因此 （Ⅱ）由得 记函数 函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为 所以得 由得 所以 故 综上， ． 2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，． 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减． 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，，即． 令，得，即． ① （Ⅱ）；； ． 由此推测： ． ② 下面用数学归纳法证明②． （1）当时，左边右边，②成立． （2）假设当时，②成立，即． 当时，，由归纳假设可得 ． 所以当时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立． （Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ，即． 3．【解析】（Ⅰ）由已知，得 于是 所以 故 （Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得， 即，类似可得 ， ， . 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立. (i)当n=1时，由上可知等式成立. (ii)假设当n=k时等式成立, 即. 因为 ， 所以. 所以当n=k+1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立. 令，可得(). 所以()． 4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明 （1）当时，，原不等式成立。 （2）假设时，不等式成立 当时， 所以时，原不等式成立。 综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。 （Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。 （1）当时由假设知成立。 （2）假设时，不等式成立 由易知 当时 由得 由（Ⅰ）中的结论得 因此，即 所以当时，不等式也成立。 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。 再由得，即 综上所述， 证法2：设，则，并且 ， 由此可见，在上单调递增，因而当时。 （1）当时由，即可知 ， 并且，从而 故当时，不等式成立。 （2）假设时，不等式成立，则 当时，即有， 所以当时原不等式也成立。 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。 5．【解析】：（Ⅰ）解法一： 再由题设条件知 从而是首项为0公差为1的等差数列， 故=，即 解法二： 可写为.因此猜想. 下用数学归纳法证明上式： 当时结论显然成立. 假设时结论成立，即.则 这就是说，当时结论成立. 所以 （Ⅱ）解法一：设，则. 令，即，解得. 下用数学归纳法证明加强命题： 当时，，所以，结论成立. 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即 再由在上为减函数得. 故，因此，这就是说，当时结论成立. 综上，符合条件的存在，其中一个值为. 解法二：设，则 先证：…………………………① 当时，结论明显成立. 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即这就是说，当时结论成立，故①成立. 再证：………………………………② 当时，，有，即当时结论②成立 假设时，结论成立，即 由①及在上为减函数，得 这就是说，当时②成立，所以②对一切成立. 由②得，即 因此 又由①、②及在上为减函数得，即 所以解得. 综上，由②③④知存在使对一切成立. 6．【解析】（Ⅰ），令，解得. 当时，，所以在内是减函数； 当 时，，所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ① 若，中有一个为0，则成立； 若，均不为0，又，可得，于是 在①中令，，可得， 即，亦即. 综上，对，，为正有理数且，总有. ② （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为： 设