鱼塘最大捕鱼量问题.docVIP

鱼塘最大捕获量问题 摘 要 本文讨论了如何通过控制鱼群休养时间和捕获能力，使得捕获量最大并且渔业可持续发展的问题. 对问题一：首先，通过基本假设、模型简化和微分的数学思想建立相关微分方程，其次，运用微分方程中常数变易法和变量分离法对方程进行求解.此外通过微分方程可求得现实生活中鱼苗尾数和每尾鱼重随时间变化的相关函数. 对问题二：通过微分和数形结合的思想建立了微分方程模型，利用微分方程理论对方程平衡点进行分析，结合Matlab、Maple等相关软件绘制捕获量和鱼尾数的函数示意图得出结果的实际意义. 当捕捞时间满足时，可以获得持续最大捕获量.若捕获时间大于，则会加剧鱼群竞争，不利于鱼群增长，造成经济损失.若捕获时间小于，则为过量捕捞，不利于渔业可持续发展，浪费自然资源. 本模型应用范围广泛，不仅适用于优化渔业资源，实现其可持续发展，也可适用于家禽养殖、林业和畜牧业等相关领域. 关键词 最大捕获量；尾数；捕获时间 问题的提出 渔业资源是一种可持续资源.合理使用该资源既可以使渔业产量最大化，也可以使渔民收益最大化.而随着时间增长，鱼的尾数会随着饲养、繁殖和鱼塘内部环境的变化而改变.通过建立数学模型，控制捕获时间和捕获量，使得从捕捞时间开始的持续捕获量最大.该实际问题的解决对渔民有重要意义. 通过建立具体的数学模型，解决以下问题： 问题一：在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间增长鱼苗尾数减少，而其重量增加.因为喂养引起每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，依据条件分别建立尾数和每尾鱼重量的微分方程，并进行求解. 问题二：为使鱼苗持续增长，所以用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻才开始捕捞.确定其捕捞能力使得从时刻开始的捕获量最大. 问题的分析 鱼的尾数和自然净相对增长率有关； 2、鱼的尾数和捕获量有关； 3、鱼的尾数和相对减少率有关； 4、捕获能力与鱼的尾数有关； 5、捕获时间与鱼群变化率有关; 6、鱼的尾数和繁殖率有关. 基本假设 尾数的相对减少率为常数； 2、由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比； 3、由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比； 4、鱼的自然净增长率为常数； 5、鱼塘内部环境稳定，尾数不受自然灾害影响； 6、渔网眼为正方形，鱼为立方体模型. 符号表示 符号表示 意义 时刻鱼的尾数 投放的每尾鱼苗的质量 投放的鱼苗的尾数 鱼的密度 时刻每尾鱼的质量 尾数的相对减少率 每尾鱼重量增加率与表面积的比例系数 每尾鱼重量减少率与重量本身的比例系数 正方体的边长 网眼边长 网眼边长 捕捞能力 模型建立 模型一 根据尾数的相对减少率为常数可列出关于尾数变化的微分方程，根据每尾鱼重量的增加率与表面及成正比，重量的减少率与重量本身成正比可列出关于重量的微分方程. 关于尾数的微分方程： （1） 关于重量的微分方程： （2） 其中表示鱼的表面积，. 模型二 捕捞时刻应取与中较大的时间，其中表示尾数到达稳定点所需的时间，表示鱼的大小刚好等于网眼对角线长所需的时间.在捕捞时建立关于尾数的Logistic差分模型，求出方程的平衡态并分析平衡态的稳定性，得出稳定时鱼的尾数.再用Matlab画出产量随尾数变化关系图并得出最佳捕获量，捕获时鱼的尾数，进而计算出此时的捕捞能力. 捕捞时，建立关于尾数的Logistic差分方程 （3） 模型求解与分析 模型一 用变量分离法解出尾数随时间变化的关系式为 用变量分离法解出每尾鱼重量随时间的变化关系式为 结合伯努力方程与常数变异法求出捕捞时尾数随时间变化关系式为 又由于捕捞时的初始条件为可解出，进而得出捕捞时尾数随时间的变化关系式为 （4） 求（3）的平衡态，令 得出平衡态 ， 对平衡态的稳定性进行分析 令，则 所以 , 当时，，，稳定，不稳定 当时，，，不稳定，稳定 由上面的分析可知，当时，捕捞量将稳定在附近.当，最终鱼量会趋于0. 将带入（4），求出当鱼的尾数达到时所需的时间为 当正方体的边长刚好等于网眼对角线长时，所需时间为， 此时，由得， 将带入上式得 （1）.当时，在时刻捕获可得最大捕获量. 在自然条件下，鱼量随时间增长符合关系式 ，捕捞率 记，在原点处的切线方程为 作出与的图像（如图1）， 图1 （注：因与为常系数，所以根据数据拟合取与为定值作图） 所以，当时，与有交点，且的横坐标为（，0）. 由直线知，纵坐标为稳定条件下单位时间的持