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PAGE1 / NUMPAGES8 Hilbert矩阵病态问题研究 1）Hilbert矩阵的阶数与的关系 猜想：与呈线性关系，其中按2范数计算。 绘制曲线。分别取，得到曲线如图1-1、图1-2及图1-3所示。程序详见附录1。 图1-1. 由图1-1可知，，是的线性函数，猜想正确。 图1-2. 由图1-2知，当时，与之间的线性关系已经不存在，而且的值大致在(40,50)内间波动，猜想与实际不完全相符。 图1-3. 图1-3进一步说明了与之间的变化关系：当小于某一值（设该值为）时，是的线性函数，而当大于时，随着的增大，与间的线性关系不再成立，且其值在某一区间内波动。 为进一步确定的大小，绘制时的曲线，如图1-4所示，可知的取值应为13。 图1-4. 2）由至的预处理 绘制曲线。其中，为由的对角元素开方构成的对角矩阵。条件数按2范数计算。程序详见附录2。 分别取，得到如图2-1、图2-2和图2-3所示曲线。由曲线图像可知：当Hilbert矩阵的阶数时，随增大而逐渐减小，而继续增大时，的取值将在区间(-7,4)内波动，且主要集中在(0,-3)区间内。 图2-1. 图2-2. 图2-3. 当时，。所以，由上述分析可知，对大部分Hilbert矩阵而言，通过至的预处理可以使的病态性得到改善。 3）方程的求解分析 由2）中结论可知，对于的Hilbert矩阵，通过预处理一定可以改善的条件数。取，对不同的右端项进行计算，为对比分析和的病态性，取，，。 方法1：不经预处理，先计算的逆矩阵，可得的解。 方法2：进行预处理，先求解得, 再由得到原方程的解。 方法3：由Matlab中的矩阵除法解得。 求解结果如表2-1所示，程序详见附录3。 表2-1. 不同求解方法的求解结果对比 -6 9.55 -6 -5.7228 9.5498 -5.7228 -6.2772 9.5502 -6.2772 210 21.664 210 201.68 21.664 201.68 218.32 21.665 218.32 -1680 29.554 -1680 -1621.8 29.553 -1621.8 -1738.2 29.554 -1738.2 5040 35.214 5040 4884.8 35.213 4884.8 5195.2 35.215 5195.2 -6300 39.504 -6300 -6125.4 39.503 -6125.4 -6474.6 39.505 -6474.6 2772 42.878 2772 2702.1 42.877 2702.1 2841.9 42.879 2841.9 分析表2-1所示的求解结果可知：对不同右端项，方法2的求解结果变化很小，而方法1和方法3的求解结果变化较大，即采用方法2时，若右端项发生微小变化，线性方程组解的变化很小，而采用方法3时，若右端项发生微小变化，线性方程组的解将产生较大变化。 以上结果说明了的病态性质，并验证了2）中结论，即进行预处理有助于改良Hilbert矩阵的病态性。 4）Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 编写Gauss-Seidel迭代解线性方程组的Matlab主程序，保存在一个M文件中。程序详见附录4。 分别取Hilbert矩阵的阶数为，编写程序调用附录4中函数Hgssdl(n,X0,p,wucha,max1)，其中X0为迭代初值，p为选择的范数，wucha为允许的误差，max1为最大迭代次数，求解结果如表4-1所示。程序详见附录5。 表4-1 Gauss-Seidel迭代求解结果 Hilbert矩阵阶数 迭代次数 14229 26951 14498 35024 25890 42869 精确解jX 近似解X 1 迭代结果 1.0002 0.9999 1.0001 1.0001 0.9999 0.9998 0 -0.0028 0.0018 -0.0035 -0.0009 0.0022 0.0036 0 0.0121 -0.0056 0.0179 0.0001 -0.0137 -0.0146 0 -0.0181 0.0007 -0.0236 0.0084 0.0228 0.0124 0 0.0088 0.0084 -0.0074 -0.0066 0.0029 0.0114 0 0.0032 0.0098 -0.0091 -0.0119 -0.0002 0 -0.0052 0.0144 -0.0032 -0.0132 -0.0085 0 -0.0087 0.0095 0.0036 -0.007 -0.0106 0 -0.0039 0.001 0.0075 0.0007 -0.0081 0 0.0096 -0.0068 0.0079 0.0066 -0.0034 0 -0.01