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二次函数与存在相似三角形 云南省近3年真题展示: 1、(2013·曲靖·T23[3])见2015《火线100天》(云南专版)P161-162 T2(3) 2、(2013·普洱·T23[2])见2015《火线100天》(云南专版)P161 T1(2) 3、(2013·红河·T23[3])如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E. (1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式; (2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标; (3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. 解:(1)在y=﹣x2+4中,当y=0时,即﹣x2+4=0,解得x=±2. 当x=0时,即y=0+4,解得y=4. ∴点A、B、C的坐标依次是A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),则 ,解得. 所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4. (2)∵点E在直线BC上, ∴设点E的坐标为(x,﹣2x+4), 则△ODE的面积S可表示为:. ∴当x=1时,△ODE的面积有最大值1. 此时,﹣2x+4=﹣2×1+4=2, ∴点E的坐标为(1,2). (3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似,理由如下: 设点P的坐标为(x,﹣x2+4),0<x<2. 因为△OAC与△OPD都是直角三角形,分两种情况: ①当△PDO∽△COA时,,, 解得,(不符合题意,舍去). 当时,. 此时,点P的坐标为. ②当△PDO∽△AOC时,,, 解得,(不符合题意,舍去). 当时,=. 此时,点P的坐标为. 综上可得,满足条件的点P有两个:,. 备选变式题: 1. (2014?东营·T25)如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D(3,﹣4). (1)求直线BD和抛物线的解析式; (2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH垂直于x轴,交直线BD于点H,当四边形BOHP是平行四边形时,试求动点P的坐标. 解:(1)∵y=2x+2,∴当x=0时,y=2,∴B(0,2). 当y=0时,x=﹣1,∴A(﹣1,0). ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B(0,2),D(3,﹣4), ∴解得,∴y=﹣x2+x+2; 设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意,得 ,解得,∴直线BD的解析式为:y=﹣2x+2; (2)存在. 如图1,设M(a,﹣a2+a+2). ∵MN垂直于x轴,∴MN=﹣a2+a+2,ON=a. ∵y=﹣2x+2,∴y=0时,x=1,∴C(1,0),∴OC=1. ∵B(0,2),∴OB=2. 当△BOC∽△MON时,∴,∴,解得a1=1,a2=﹣2. ∴M(1,2)或(﹣2,﹣4); 如图2,当△BOC∽△ONM时,,∴,∴a=或, ∴M(,)或(,). 又∵M在第一象限, ∴符合条件的点M的坐标为(1,2),(,); (3)设P(b,﹣b2+b+2),H(b,﹣2b+2). 如图3,∵四边形BOHP是平行四边形,∴BO=PH=2. ∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b.∴2=﹣b2+3b∴b1=1,b2=2. 当b=1时,P(1,2), 当b=2时,P(2,0) ∴P点的坐标为(1,2)或(2,0). 2.(2014·安顺·T26)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=DC,BC在x轴上,点A在y轴的正半轴上,点A,D的坐标分别为A(0,2),D(2,2),AB=2,连接AC. (1)求出直线AC的函数解析式; (2)求过点A,C,D的抛物线的函数解析式; (3)在抛物线上有一点P(m,n)(n<0),过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,连接PC,使以点C,P,M为顶点的三角形与Rt△AOC相似,求出点P的坐标. 解:(1)由A(0,2)知OA=2, 在Rt△ABO中,∵∠AOB=90°,AB=2, ∴OB===2,∴B(﹣2,0). 根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为(4,0). 设直线AC的函数解析式为y=kx+n,则 ,解得,∴直线AC的函数解析式为y=﹣x+2; (2)设过点A,C,D的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,则 ,解得,∴y=﹣x2+x+2; (3)∵点P(m,n)(n<0)在抛物线y=﹣x2+x+2上, ∴
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