矢量算法与场论初步·张量.PDF

第八章 矢量算法与场论初步·张量 算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分. 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的 算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋 度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分 定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式) ；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变 矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n 维空间中去. 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量 算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的 平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n 维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空 间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质 可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在 仿射联络空间中是没有的. §1 矢量算法 一、矢量代数 ［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面 积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动 量等都是矢量． 在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB 来表示矢量.用长  AB AB 度 表示大小，用端点的顺序A B 表示方向.A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作 ，  或用黑正体字母 a 表示.矢量的大小(或长度) 的数值称为它的模或绝对值，用记号 或|a|表 AB 示. 矢量按其效能可分成三种基本类型： 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度. 在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相 等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于 1 的矢量称为单位矢量. 模等于零的矢量称为零矢量 ，记作０，它是始点和终点重合的矢量. a 模与矢量 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作-a. 始点与原点O 重合而终点位于一点M 的矢  OM 量 (图8.1)称为点M 的矢径(或向径) ，记作 r ，原点称为极点.如果M 的直角坐标为x ，y ，z , 则有 → r ＝OM ＝(x ，y ，z) ＝xi ＋yj ＋zk 式中i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量). ［矢量的基本公式］ 名 称 公 式 图 形 矢量a 的坐标表示 a ＝a i ＋a j ＋a k ＝(a , a , a ) x y z x y z 坐标单位矢量i ，j ，k i ＝( １，０，０) 的坐标表示 j ＝( ０，１，０)