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------WORD格式-----可编辑------- --- 福建工程学院线性代数试卷 (3) 一、 是非题 (共 12 分 ,每题 3 分 ) 1．两个同阶的非零方阵相乘时，其结果一定不为零矩阵。 （ ） 2．设 A 是正交矩阵，若 A2 E ，则 A 是对称矩阵。 （ ） 3．若 1, , r r 2 是线性相关的，则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示。 （ ） 4 ． 如 果向 量 组 1 , , s 的 秩 为 r ， 那 么 其 中任 意 r 个 向 量 都 可 以 构 成 它 的 一 个 最 大 线 性 无 关组 。 （ ） 二、 选择题 （共 15 分，每题 3 分） 1.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A* 的特征值之一是（ ） （ A ） 1 A n （ B） 1 A （ C）A （ D）A n 2．设 A 为 m n 矩阵，则齐次线性方程组 Ax= 0 仅有零解的充分条件是（ ） （ A ） A 的列向量组线性无关 （B） A 的列向量组线性相关 （ C） A 的行向量组线性无关 （ D） A 的行向量组线性相关 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 3．矩阵 0 0 1 1 0 的秩为（ ） 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 （ A ） 2 （ B） 3 （C） 4 （ D） 5 4．设 n 阶方阵 A， B，C 满足关系式 ABC=E ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（ ） （ A ） ACB=E （ B） CBA=E （ C） BAC=E （ D） BCA=E 5． n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（ ） （ A ） 充要条件 （ B ） 充分而非必要条件 （ C） 必要而非充分条件 （ D） 既非充分也非必要条件 三、 填空题 （共 24 分，每题 4 分） 2 0 1．已知 1 , 2 , 则 T ， T 3 1 2．设 4 4 矩阵 A 23 4 ,B 234 行列式 A 4, B 1 ，则行列式 A B 5 0 0 3．设 A0 3 1 ，则 A 1 . 0 2 1  . ，其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知 . 4．已知向量组 1 (1,2,3,4), 2 (2,3,4,5), 3 (3,4,5,6), 4 (4,5,6,7) ，则该向量组的秩是 ， 最大线性无关组是 . 2 1 0 1 0 0 5．已知 A0 x 2 与 B 0 2 0 相似，则 x= . 0 0 1 0 0 3 6． 当 t 取值在 范围内时，二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2tx1 x2 x22 tx32 为正定的。 四 、计算题 （共 4 题，第 1， 2， 3 题 10 分，第 4 题 12 分） 3 2 2 2 2 3 2 2 1．计算 n 阶行列式 D n2 2 3 2 2 2 2 3 1 0 0 1 0 2．若 A1 1 0 , B 4 3 ，且 AX=2X+B ，求矩阵 X 1 2 1 1 2 x1 x2 3x3 x4 1 3．求非齐次线性方程组 3x1 x2 3x3 4x4 4 的通解（用向量形式表示） x1 5x2 9x3 8x4 0 4．已知二次型 f 4x22 3x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 1）写出二次型的矩阵表达式； 2）用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交变换与标准形。 五 、证明题 （ 7 分） 设 是非齐次线性方程组 A x=b 的一个解， 1, , n r 是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系， 证明：, 1 , , n r 线性无关