3.2空间向量在立体几何中应用.docxVIP

.. 3.2空间向量在立体几何中的应用 3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标 1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述 2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系 3.能根据具体问题合理选定基底 教学过程 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 在平面向量的学习中，我们得知 ① M、A、B三点共线 ② A、B是直线l上任意两点。O是l外一点. 动点P在l的充要条件是，称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。 给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量 ① 这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使 向量方程①通常称作直线l的参数方程。向量a称为该直线的方向向量。 注:⑴ 向量方程两要素:定点A,方向向量a ⑵ t为参数,且t是实数, 直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式 ② 如果在l上取 则②式可化为 即 ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程 注: ⑴当t= 时, .此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中 有共同的起点. ⑶ ③中 的系数之和为1. 例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB 的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q 为轴上两点，且分别满足条件（1）AP：PB=1：2；（2）AQ：QB=－2，求点P 和点Q 的坐标。 2.用向量方法证明空间中有关平行的问题 （1）线线平行与向量的关系 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。 （2）线面平行与向量的关系 已知两个不共线向量ν1和 ν2与平面共面，一直线l的一个方向向量为 证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行。 （3）面面平行与向量的关系 已知两个不共线向量ν1和 ν2 证明面面平行的方法思路：求两平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。 例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N 分别是面对角线A’B 与面对角线A’C’ 的中点，求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN= 3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补 线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 （1）用向量法证两直线垂直的步骤： A.不以共面的三向量为基底， B.用基底表示欲证的两直线的方向向量， C.验证这两个方向向量的数量积为零。 注：空间四边形中，有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。 小结： 1.直线的向量方程； 2.用向量方法证明直线与直线平行； 3.用向量方法证明直线与平面平行； 4.用向量方法证明平面与平面平行； 5.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角； 6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M共面的充要条件。 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示 学习目标 1、理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式 2、掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理 3、会证明两平面的平行和垂直 重点： 平面法向量的概念及应用， 正射影的概念，三垂线定理及逆定理。 难点： 平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。 教学过程 1、法向量的概念 定义：已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫做平面的法向量或说向量与平面正交。 2、直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 已知：a,b是平面内的两条相交直线，且直线 求证：. 证明：见课本 思考：设A 是空间任一点，为空间内任一非零向量，适合条件的点M的集合构成什么样的图形？ 结论：设分别是平面的法向量，则有 例1：已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中，求平面ABC的一个法向量 反思与变式练习 （1）、已知正方体，写出平面ABC和平面的一个法向量 （2）、已知平面经过点O（0