高等工程数学讲义华科（数理统计）.docVIP

Ch1 数理统计的基本概念 1.1数理统计的基本问题 1.1.1数理统计的任务 例1 实验：随机在一大批产品中抽取产品进行检验。（1）一旦查出废品即停止试验，认为该批产品不合格；（2）若到第件还未查出废品也停止试验，认为该批产品合格。设为检查件数，则z的概率分布为 若p已知，可解决概率问题： （2）若未知，则需解决统计问题： 有实验结果推断出：(Ⅰ)估计；(Ⅱ)检验p≤p0;(Ⅲ)设计n0=？ 数理统计的基本思想：从全体研究对数中抽取一部分实验，由实验结果推断全体的数理规律。 1.1.2总体与样本 总体研究对象（数量指标）的全体（统计规律）。z或其分布F(x) 样本独立同分布的个随机变量X1, X2,…, Xn，记X1, X2,…, Xn F(x) 样本观察值x1,…xn~样本的一次实现（n个实数） 1.1.3经验分布与直方图（非高数统计） 经验分布函数Fn(x)= 其中 x1,…,xn,→-∞=x(1)≤…≤x(n)x(n+1)=∞ 格列文科定理， 直方图 a=a0a1...am=b 频率fj=nj/n~x1,...,xn中溶入[aj-1,aj]的比例 aaj-1ajb作(aj-aj-1)*fj/(a a aj-1 aj b 大数定律 ,其中pj=P(aj-1z≤aj) 1.1.4 统计量 统计量T=g(X1, X2,…, Xn)~样本的（可测）函数，与总体未知函数无关 如是统计量，但不是 样本均值 → 样本方差 → 样本阶原点矩 → 样本阶中心矩 → 次序统计量 z(1)≤z(2)≤…≤z(n) 中位数 极差 R=X(n)?X(1) 1.2 抽样分布 1.2.1 几个重要的统计分布 (1)正态分布,X ~ ～ (2)分布～～ 其中X1, X2, …, Xn ~ N(0,1) 数字特征：， 可加性：Y1 ~? 2(n1)与Y2 ~? 2(n2) 相互独立 Y1+ Y2 ~? 2(n1+n2) 上侧分位点： (3)分布～～ 其中X ~与 Y ~独立 对称性： 渐进正态性：： 上侧分位点： () (4)F分布～～ 其中Y1 ~? 2(n1)与Y2 ~? 2(n2)独立 上侧分位点： 证明： 证明：由分布定义知若～，则 1-1- 即 故 1.2.2 抽样定理 定理 设X1, X2, …, Xn ~,则 (1)～；(2)～；(3) 与独立 证明：(1)由正态分布的线性性质 ～ ， (2)= ,而～ 且==0 故自由度为n-1 (3)由于中心化过虑了? 的信息，而则集中了? 的信息 推论1 ～ ～， ～， 与独立 ～ 推论2 设X1, X2, …, Xn ~，Y1, Y2, …, Yn ~ 则～ 推论3设X1, X2, …, Xn ~，Y1, Y2, …, Yn ~ 则～ Ch2 参数估计 2.1 基本概念 2.1.1 问题的提法 引例.已知（由机制或经验）某交通路口等待通行的车辆数，为计算“堵车”的概率。现要由观察数据估计的值。 一般已知总体，为未知参数，用样本对进行估计。此统计问题为参数统计问题（可视为待估参数） 估计量～用来估计的统计量。 估计值～估计量的观察值。 两类估计～ 1.总估计：用估计（可以为向量）。 2区间估计：用和估计。 使很大。 估计量的优良性：尽量小。 2.2 点估计 2.2.1 矩估计 原则：由大数定律，用估计。 步骤： 例2-1 设总体的期望和方差均存在，试由样本估计和。 解： 由解得 于是 其中 步骤： （1）； （2） 注1：例1结论与总体分布类型无关，即对任何具有和的总体都有。 注2：矩估计通常不唯一，比如总体，注1说明和都是的矩估计。 例2.2 设U(a,b)，试求和的矩估计。 解：由得故 2.1.2 极大似然估计 原理：已发生的事件，其概率应该最大 方法： （1）构造似然函数 （2）求使 例2.3 设P(?)，求??的极大似然估计 解： 令 例2.4.设X1、X2...Xn是取自正态总体N(μ，σ2)的样本，求未知参数 μ，σ2的极大似然估计。 解： 例2.5.设X1、X2...Xn是取自U(a,b)中的样本，求未知数a,b的极大似然估计。 解：