8.学数学要有逆向思维.pdfVIP

本文由SCIbird 排版整理 学数学要有逆向思维 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 逆向思维或逆向思考似乎与常规逻辑不太合群，有点不走寻常路的感觉。 但历史一再证明了逆向思维的重要性，往往能起到奇兵的作用。数学中的逆向 思维首推反证法。相信大家对反证法已经非常熟悉了，就像老朋友一样。不少 定理直接证明比较困难，但借助反证法就容易多了，比如证明单位正方形对角 线长度是无理数。 逆向思维的例子很多，有些太寻常了，以至于没有留意。比如反函数的概 念，这是拓展函数研究范围的一种方法。按笔者的想法，多项式和有理函数是 熟悉的，因为可以与实数加减乘除运算作为类比。但是，对数函数、指数函数 3 与三角函数就不那么熟悉了，比如 2 应该如何理解？ 按照数学史，对数函数先于指数函数出现，通常定义为 x dt ln x =∫1 t 被积函数是有理函数，我们很熟悉。通过变量代换，可以得到积分等式 xy dt x dt y dt = + ∫ ∫ ∫ 1 t 1 t 1 t 这就是对数的乘法公式：ln xy =ln x +ln y . 对数函数y =ln x 的反函数为指数函数x =ey ，习惯上记为y =ex . 指数函 数有加法公式ex +y =ex ⋅ey . 这里的底数e 这样定义，它使得 e dt 1=∫1 t 对数函数y =ln x 导数可以直接求出来，即y′=1/ x （利用变上限积分求导 法则）。指数函数y =ex 的导数可以间接求出来，即利用它的反函数导数，然后 x ′ x 倒过来即可，由此可知(e ) =e . 这比直接利用导数定义要便捷一些。 借助于欧拉公式eix =cos x +i sin x ，我们实际上可以由指数函数来研究三 角函数。当然，也可以由其它方法来研究三角函数。 对于数学家来讲，研究一个函数的反函数是一个很自然的事情，研究一种 本文由SCIbird 排版整理 运算的逆运算也是很自然的。数学分析中的典型代表要数不定积分∫ 了。最初不 定积分运算∫ 看做是导数的逆运算，即按 −1 ⎛ ⎞ d ⎜ ⎟ ∫:=⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ dx 来理解。所以有的书上称不定积分为“反导数”。这里完全可以用其它符号来表 示不定积分∫ . 只是后来人们发现了牛顿-莱布尼茨公式，发现连续函数的变上 限定积分就是一个原函数，所以采用了相似的符号。不过必须强调的是，不定 积分∫ 表示一族函数而不是