最小二乘法应用举例复旦大学物理教学试验中心.doc

PAGE PAGE 13 补充材料1 实验数据的处理（上接教材第二章，p.19） 注意：（1）用最小二乘法计算斜率k 和截距b时，不宜用有效数字的运算法则计算中间过程，否则会有较大的计算误差引入。提倡用计算器计算，将所显示的数值均记录下来为佳。（2）如果y和x的相关性好，可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。（3）确定有效位数的可靠方法是计算k和b的不确定度。 直线拟合的不确定度估算：（以为例） 斜率k 和截距b是间接测量物理量，分别令测量数据的A类和B类不确定度分量中的一个分量为零，而求得另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合成不确定度，这种方法被称为等效法。 可以证明，在假设只有yi存在明显随机误差的条件下（且y的仪器不确定度远小于其A类不确定度），k 和b的不确定度分别为： 式中，Sy是测量值yi的标准偏差，即 根据上述公式即可算出各个系数（斜率k 和截距b）的不确定度值，初看上去计算似乎很麻烦，但是利用所列的数据表格，由表中求出的那些累加值?即可很容易算得。 最小二乘法应用举例 应用最小二乘法处理物理量的测量数据是相当繁琐的工作，容易出现差错。因此，工作时要十分细心和谨惯。为便于核对，常将各数据及计算结果首先表格化。 例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0、? 以及确定它们的误差。 表 1 t / ℃ 19.1 25.1 30.1 36.0 40.0 45.1 50.1 Rt / ? 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 此例中只有两个待定的参量R0和?，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、、、、和六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。其中表内双线右边的计算是为了确定R0和?的误差项用的。 表 2 i t / ℃ ( xi ) Rt / ? ( yi ) t×t ( x2i ) Rt ? Rt ( y2i ) t×Rt ( xi yi ) R计算 / ? ?i / ? ?i2×10-4 1 2 3 4 5 6 7 19.1 25.1 30.1 36.0 40.0 45.1 50.1 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 364.8 630.0 906.0 1296.0 1600.0 2034.0 2510.0 5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0 1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5 76.26 77.99 79.43 81.13 82.28 83.75 85.19 +0.04 -0.19 +0.32 -0.33 +0.07 +0.15 -0.09 16 361 1024 1089 49 225 81 7 245.5 566.00 9340.8 45826 20060.8 2845×10-4 根据表2中所求得的数据，代入公式（12）（参见教材第二章，p.19）则可得： 把测量数据代入式（13）和（15）（参见教材第二章，p.19）中可求出相关系数 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即R0＝70.76?；又因为t7－t1 = 31.0 ℃，R7－R1 = 8.80?，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288?/?C。由此可以得到电阻与温度的相关关系为： 按补充资料中的公式计算k 和b的不确定度，可得 故 ， 则 验证及比较最后的计算结果： 利用计算机软件（Origin 7.5）对上述实验数据进行线性拟合，发现：其斜率、截距及其标准偏差，以及测量值yi的标准偏差与直接用所述公式进行计算的结果是完全一致的（仅讨论A类不确定度，而B类不确定度未考虑）。 补充实验1 光栅特性与激光波长 图1 NaCl单晶的劳厄相 图2 DNA结构的X-射线衍射图样 具有空间周期性结构的衍射屏统称为衍射光栅。最简单的衍射光栅是由等间距的透明与不透明的条纹组成的一维光栅。此外，有各种平面点阵或网格构成的二维光栅、立体点阵（如晶格）构成的三维光栅等。光栅的衍射有十分广泛的应用：利用衍射光方向与波长的关系，可构成光栅光谱仪，它比棱镜光谱仪的分辨率更高，并且是线性的，易于计算机处理；利用X光在晶体上的衍射方向与晶格常数有关，可构成各类X光衍射仪，它是近代研究物质结构