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高中数学研究性学习教学案例 ――――― 关于高一数学中分期付款问题 2007220175 张慧玲 高一数学教材中的研究性学习是关于分期付款问题，这个问题在生活中 有比较现实的意义，而且研究好了这个问题，对学习等比数列以及等比数列的 求和公式的应用可以起到巩固的作用。 一、问题的背景 故事背景：一外国老太太与一中国老太太的比较：一外国老太太到了快要死去时 叹了口气说，我终于还够了买房子的钱，而中国老太太到了快要死去时叹了口气说， 我终于攒够了买房子的钱。那么问同学们，你们赞同于哪一种生活方式呢？这个问 题提出来之后，大家讨论的结果是，这个故事反应的是两个国家人们消费观念的 不同，同样的结果是老太太辛苦一辈子挣得一座房子，但两者的生活质量却有着 很大的不同，国外比较早实行分期付款的消费方式，而且信用体系比较完善。 现实背景：据统计现在上海以及一些大城市的年轻人越来越多的“负”翁出现，年 轻 人消费观念正发生着巨大变化，一般的工薪阶层兴起买房热和买车热，他们敢于用 明天的钱享受今天的生活。在我们身边，你们可以调查一下是不是也有很多青年人是 采用分期付款的方式买的房子和汽车呢？那么，如果是你有了一定的经济能力后也采 用分期付款的方式，那么你能不能算一算你每一期将会付多少款呢，会不会影响到 自己的生活质量呢？ 通过这个问题的故事背景，使学生对分期付款问题产生了比较浓厚的兴趣，使我们 对问题的展开奠定了良好的基础。 单利与复利 例1、 按单利计算，如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+2*0.8%) 3月后的本利和为a(1+3*0.8%) …… 12月后的本利和为a(1+12*0.8%) 一般的，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为n，本利和y随存期n变化的函数式为y=a（1+n*r）。 例2、 按复利计算，如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 …… 12月后的本利和为a(1+0.8%)12 一般的，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为n，本利和y随存期n变化的函数式为 3、分期付款 例3、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元) 解法1 ：设每月应付款x元， 购买1个月后的欠款数为5000·1.008-x ， 购买2个月后的欠款数为( 5000·1.008-x)·1.008-x 即 5000·1.0082-1.008x-x 购买3个月后的欠款数为(5000·1.0082-1.008x-x)·1.008-x 即 5000·1.0083-1.0082x-1.008x –x …… 购买5个月后的欠款数为：5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x 由题意 5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085 这就是说，每月应付款1024元 。 解法2 ：设每月应付款x元 ， 那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后）付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元； 另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 5000·1.0085元。 根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085 解法3：从贷款时（即购买商品时）的角度来看 第1个月偿还的x元，贷款时值 ： 第2个月偿还的x元，贷款时值：