2010届数学好题精讲精练(仅供非常优秀的班级参考).docVIP

管理资源吧（），海量管理资源免费下载！ 管理资源吧·管理人自己的下载网站 2010届数学好题精讲精练(仅供非常优秀的班级参考) 1．（本小题满分14分） 已知定义在R上的函数满足： ①；②；③对任意的，都有. （Ⅰ）求证：，且对任意时，； （Ⅱ）求证：在R上是单调递增函数； （Ⅲ）求满足的所有的值． 证： （I）∵，且对任意的，都有 ∴　　，即 ∴　 ………………………2分 又当时，有，且， ∴，即 ∴　　 ………………………5分 （Ⅱ）任取 …………6分 ∴ ，即 ……9分 所以，在R上是单调递增函数． ……………………10分 （Ⅲ）∵，∴ ∴ ……………………11分 由（Ⅱ）知，在R上是单调递增函数 ∴，解得，　 ……………………13分 ∴满足的所有的取值为（1，2）． ……………………14分 2、（本小题满分16分） 已知 （Ⅰ）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值； （Ⅱ）若在R上恒为增函数，试求的取值范围; （Ⅲ）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列． . 解：（Ⅰ）当时， ………………………1分 （1）时， 当时，；当时， …………………2分 （2）当时， 当时，；当时， ……………………4分 综上所述，当或4时，；当时， …… 5分 （Ⅱ）…7分 在上恒为增函数的充要条件是，解得 ………10分 （Ⅲ）， ① 当时，，即 （1） 当n=1时，；当n≥2时， （2） （1）—（2）得，n≥2时，，即 又为等差数列，∴ 此时 …………13分 ②当时 ，即 ∴ 若时，则（3），将（3）代入（1）得， 对一切都成立 另一方面，，当且仅当时成立，矛盾 不符合题意，舍去. ……………………15分 综合①②知，要使数列成等差数列，则 ………………16分 3．设函数. （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ） （1分） 令得的单调递增区间为（a,3a） 令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） （4分） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极小值=b. （6分） （Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分） ∵0a1， ∴a+12a. ∴上是减函数. （9分） ∴ 于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又 ∴ （12分） 4.如果在某个区间I内满足： 对任意的，则称在I上为下凸函数；已知函数 （Ⅰ）证明：当时，在上为下凸函数； （Ⅱ）若为的导函数，且时，求实数a的取值范围. 解（Ⅰ）任取 则 …………………………………………………………2分 …………………………………………3分 又…………………………………………4分 又 ………………………………………………5分 即.…………………………………………6分 上的下凸函数. （Ⅱ），…………………………………………………………8分 ………………………………………………10分 恒成立. ………………………………………………………………12分 5.设，函数为自然对数的底数）. （Ⅰ）判断的单调性； （Ⅱ）若上恒成立，求a的取值范围. 解（Ⅰ）由已知 …………………………………………2分 令 ①当在R上为减函数. ②当 在R上为减函数.…………………………4分 ③当时，由 得 由 得 上为增函数； 上为减函数.…………………………6分 （Ⅱ）①当上为减函数. ……………………10分 ②当 在[1，2]上不恒成立， ∴a的取值范围是………………………………………………12分 6.设是函数的两个极值点，且 （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）求证：. 解证：（I）易得…………………………………………1分 的两个极值点 的两个实根，又a＞0 ……………………………………………………3分 ∴ ∵ ……………………………………………………7分 （Ⅱ）设则 由 上单调递增………………10分 ………………………………………………12分 7 已知函数 （Ⅰ）若，求的极大值； （Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围. 解：（Ⅰ）定义域为 ……………………………………………………………2