阶梯型标数法.docxVIP

阶梯型标数法 1.加菲和宗峰一起洗5个大小互不相同的盘子。加菲洗好的盘子从大到小一个一个往上摞，宗峰再从最上面一个一个的拿走放进橱柜里。加菲一边洗，宗峰一边拿，那么宗峰摞好的盘子一共有多少种不同的摆法？ 每横着走一步，表示加菲洗完了一个盘子；每竖着走一格，表示宗峰拿走了一个洗好的盘子。无论任何时候，宗峰拿走的盘子都不可能比加菲已经洗好的盘子多，所以整个图是一个斜三角。这种标数法叫阶梯型，也叫斜三角标数法。 每一种最终到达右上角的走法都对应着一种盘子的摆放顺序，所以只需要给每一步标上数字即可。注意阶梯型标数法标数要标在节点上。 另外要注意的就是每一步只能向右或向上走，所以每个节点的数值都是下面和左边两个节点的数值之和。 全部标好数字之后，就容易看出，一共有42种摆放方法。 阶梯型标数法是一种非常非常非常有用的解决计数问题的方法，可以把很多复杂的题目轻松秒掉。强烈建议大家掌握哦~2.把10、16和其他四个不同的自然数填进6个空格里，要求这6个自然数从左到右按顺序构成一个等差数列，那么一共有多少种不同的填法？解：如果包含10和16的数字构成了等差数列，那么10和16的差一定是公差的倍数。 由于公差能整除6，所以公差只能是1、2、3、6. 其中公差等于1的情况是不可能在只有6个数的时候出现的，只要看后三者即可。 以公差为2举例，此时10和16之间有12和14，另外还要再填两个数。可以来看10在这6个数里的位置，能从左边第一格到左边第3格，共有3种填法。 同样的，公差为3时有4种，不过公差为6时10只能填在第一或第二个，只有两种。因此，升序的时候共有9种填法。每一种左右颠倒就能得到对应的降序的数列，一共共有18种填法。 3.游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？ 解：与类似题目找对应关系? 要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的 要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A点沿格线走到B点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A到B有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A到B有42种走法。 但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5！=120种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5！×5！=14400种排队方法。 这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42×14400=604800种。