2017圆知识点和习题.docVIP

PAGE PAGE 22 圆 目 录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线 , 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 圆的基础综合测试 圆的终极综合测试 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 M M A B C 例2．已知，如图，CD是直径，，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 D D O E B A C 二．垂径定理及其推论 【考点速览】 考点1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤． ③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点 【典型例题】 例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且． AB A B D C O · N M 例2已知，不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。求证：CE=DF． 三．圆周角与圆心角 【考点速览】 考点1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可． Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 考点2 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． Eg: 如下三图，请证明。 考点3 4. 推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 经典例题 例1：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____. OA O A B C B O C A A·OBDCGF1E例2 A · O B D C G F 1 E （例4）E （例4） E F C D G O 例3 例3：如图2，⊙O的直径过弦的中点，，则 _______ 例４：如图１，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若， 则________o． 例5：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=_______． _ _ . . . _ D _ C _ B _ A _ O 例7：已知⊙O中，，，则⊙O的半径为________． 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中） ABEF A B E F OO PO CO