高等数学上册典型复习总结题.docVIP

一、重要极限、无穷小替换求极限： 1、 ; 2、 , ; 二、时，常用的等价无穷有 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 三、函数的连续 1、函数在点连续, 2、函数在点处连续的充要条件是函数在该点处左、右连续，即： 可导性 函数在点处可导； 导数的几何意义： 函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率， 即。 3、曲线在点处的切线方程为 . 4、基本函数的求导公式 (1)，(为常数) (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， (7)， (8)， (9) ， (10)， (11) ， (12)， (13) ， (14)， (15)， (16) 5、复合函数的求导法则: 外函数求导乘以内函数求导。 6、隐函数的导数 (1) 由方程确定的函数称为一个隐函数； (2) 参数方程的导数: 对于参数方程 ， (1) 若均可导，且，则有 (2) 若均二阶可导，且，则 7、函数在点处可微 称为函数在点处相应于自变量的增量的微分, 记作, 即 ， 8、函数在任意点处微分为： 9、复合函数的微分法则--微分形式不变性 设, 均可微, 则复合函数的微分为 . 由于, 所以 这一性质称为一阶微分形式不变性. 10、型及型未定式极限求法----洛比达法则 (1) 洛比达法则I 定理1 若函数满足： (1) ； (2) 在内可导，且 (3) 或者 ； 则 (2) 定理2 若函数满足： (1) ； (2) 在内可导，且 (3) 或者 ； 则 11、函数极值的判别法 (一) (第一充分条件) 设在的某邻域内连续, 在的某一去心邻域内可导. (1) 如果当有, 且当时有, 则在处取得极大值； (2) 如果当有, 且当时有, 则在处取得极小值； (3) 如果当及时, 的符号相同, 则在处无极值.(单调性改变的点是极值点) (二)设在处具有二 阶导数,且, 则 (1) 当时, 函数在处取得极大值； 当时, 函数在处取得极小值. 渐近线 (1) 铅直（垂直）渐近线 若或，则称为函数的一条铅直渐近线. (2) 水平渐近线 若或(为常数)，则称为函数的一条水平渐近线. (3) 斜渐近线 (I) 若, 或 , (为常数), 则直线称为函数的一条斜渐近线. (II) 斜渐近线求法： 可积性 1、基本积分表 (1) ; (2) ; (3) (4); (5) ; (6) ; (7); (8); (9); (10) ; (11)(12) (13); 2、求积分的方法 直接积分法(积分表)、凑微分、换元积分法、分部积分方法 3、定积分的几何意义： 若在上, 则在几何上表示由曲线, 直线与轴所围成的曲边梯形的面积; 4、偶倍奇零 (1) 若函数在上为奇函数，则 (2) 若函数在上为偶函数，则 5、定积分中值定理 若函数在区间上连续, 则在该区间内至少有一点, 使得: . 积分上限函数： (1)定义：设函数在区间上连续,，称定积分为积分上限函数（或(可)变上限定积分），记为，即： (2)定理(微积分基本定理) 若函数在区间上连续, 则积分上限函数 在上具有导数, 且 6、牛顿--莱布尼兹公式 其中是的一个原函数. 7、反常积分 六、幂级数微分和积分运算 1、定理　设幂级数的收敛半径为，则 在收敛域上，幂级数的和函数是连续函数. (2) 在收敛域上，幂级数的和函数可积，并且在收敛域上的逐项积分公式为： 转化为简单幂级数的积分 且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径； (3)在收敛域内，幂级数的和函数可导，并且在收敛域上的逐项求导公式为： 转化为简单幂级数的导数 . 且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径； 七、微分方程 1、方程的解的步骤： 第一步：写出方程的特征方程： 。 第二步，求出方程的特征根(分解因式法或求根公式法)： 。 第三步，根据特征根的情况，写出方程的通解： 特征方程的根的情况 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 两个互异实根 两个相等实根 两个共轭复根根 这种根据特征方程的根直接确定所求通解的方法称为特征方程法。 2、求解二阶常系